4.6 Распределение вейбулла
,
(6.1)
где
,
,
,
х – значение случайной величины;
– параметры формы показательного
распределения и масштаба;
математическое ожидание
;
(6.2)
дисперсия
.
(6.3)
Основные количественные характеристики надежности выражаются следующими формулами:
параметр интенсивности потока
частота отказов
,
(6.4)
вероятность безотказной работы
,
(6.5)
интенсивность отказов
,
(6.6)
среднее время безотказной работы
,
(6.7)
где
– гамма-функция, для которой существуют
в различных справочных руководствах
таблицы по определению ее числовых
значений.
Задача
7. Время
безотказной работы стартера подчиняется
закону Вейбулла с параметрами
,
1/час,
а время его работы
час.
Вычислить количественные характеристики
надежности стартера.
Решение. По формуле (6.5) определим вероятность безотказной работы, используя исходные данные
.
Частота отказов определится по формуле (6.4), что даст
Интенсивность отказов определится при использовании формулы (6.6)
.
Среднюю
наработку до первого отказа определим
по формуле (6.7), но прежде необходимо
определить значение гамма-функции,
воспользовавшись таблицей из справочных
руководств. Вначале вычислим значение
,
тогда
.
Подставляя в (6.7) значение гамма-функции
и параметры распределения, получим
час.
Ответ:
,
1/час,
1/час,
час.
5 Задания
Каждое последующее задание представляет собой задачу, условие которой представлено в разделе 4. Номер задачи соответствует номеру задания. Каждое задание содержит массив исходных данных для решения задачи. Студент выбирает исходные данные на основе своего номера в списке группы.
Задание 1. По условию задачи 1 найти:
вероятность того, что до места назначения доедет не менее k – лесовозов;
наиболее вероятное число недоехавших лесовозов;
дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Исходные данные взять в таблице 5.1
Таблица 5.1 – исходные данные к заданию 1
№ варианта |
n – количество лесовозов |
P – вероятность события: «не доехать до места назначения» |
k – минимальное количество доехавших лесовозов. |
1 |
8 |
0.1 |
3 |
2 |
12 |
0.2 |
5 |
3 |
7 |
0.3 |
2 |
4 |
10 |
0.4 |
6 |
5 |
5 |
0.5 |
3 |
6 |
9 |
0.6 |
4 |
7 |
11 |
0.15 |
2 |
8 |
14 |
0.25 |
3 |
9 |
9 |
0.35 |
6 |
10 |
11 |
0.45 |
4 |
11 |
12 |
0.55 |
2 |
12 |
7 |
0.65 |
5 |
13 |
9 |
0.12 |
7 |
14 |
8 |
0.18 |
3 |
15 |
6 |
0.08 |
2 |
16 |
10 |
0.05 |
6 |
17 |
14 |
0.24 |
4 |
18 |
10 |
0.36 |
5 |
19 |
8 |
0.28 |
2 |
20 |
6 |
0.16 |
7 |
21 |
9 |
0.20 |
4 |
22 |
11 |
0.34 |
5 |
23 |
14 |
0.19 |
2 |
24 |
7 |
0.11 |
6 |
25 |
12 |
0.25 |
3 |
Задание 2. По условию задачи 2 найти:
вероятность того, что не поступит ни одного автомобиля;
вероятность того, что поступит ровно m1 – автомобилей;
вероятность того, что поступит хотя бы m2 – автомобилей.
Исходные данные взять в таблице 5.2
Таблица 5.2 – исходные данные к заданию 2
№ варианта |
λ – интенсивность появления автомобилей, авт/час |
τ – время контроля потока автомобилей, час |
m1 – количество поступивших автомобилей |
m2 – минимальное количество поступивших автомобилей |
1 |
0.8 |
1 |
3 |
2 |
2 |
0.12 |
2 |
5 |
5 |
3 |
0.7 |
3 |
2 |
7 |
4 |
0.10 |
4 |
6 |
3 |
5 |
0.5 |
5 |
3 |
2 |
6 |
0.9 |
6 |
4 |
6 |
7 |
0.11 |
15 |
2 |
4 |
8 |
1.4 |
25 |
3 |
5 |
9 |
0.9 |
35 |
6 |
2 |
10 |
1.1 |
45 |
4 |
3 |
11 |
0.12 |
55 |
2 |
5 |
12 |
0.7 |
65 |
5 |
2 |
13 |
0.09 |
12 |
7 |
6 |
14 |
0.08 |
18 |
3 |
3 |
15 |
0.06 |
8 |
2 |
4 |
16 |
0.10 |
5 |
6 |
2 |
17 |
0.14 |
24 |
4 |
3 |
18 |
0.10 |
36 |
5 |
5 |
19 |
0.8 |
28 |
2 |
2 |
20 |
0.6 |
16 |
7 |
6 |
21 |
0.9 |
20 |
4 |
3 |
22 |
0.011 |
34 |
5 |
5 |
23 |
0.014 |
19 |
2 |
7 |
24 |
0.07 |
11 |
6 |
3 |
25 |
1.2 |
25 |
3 |
2 |
Задание 3. По условию задачи 3 найти вероятность того, что за интервал времени от t1 до t2 поступит не менее n автомобилей. Исходные данные взять в таблице 5.3.
Таблица 5.3 – исходные данные к заданию 3
№ варианта |
tn, мин |
tk, мин |
λn, авт/час |
λk авт/час |
t1, мин |
t2, мин |
n, авт |
1 |
30 |
800 |
0.8 |
0.11 |
300 |
310 |
2 |
2 |
50 |
1200 |
0.12 |
1.4 |
500 |
520 |
5 |
3 |
20 |
700 |
0.7 |
0.9 |
200 |
210 |
7 |
4 |
60 |
1000 |
0.10 |
1.1 |
600 |
620 |
3 |
5 |
30 |
500 |
0.5 |
0.12 |
300 |
330 |
2 |
6 |
40 |
900 |
0.9 |
0.7 |
400 |
440 |
6 |
7 |
20 |
1100 |
1.1 |
0.09 |
200 |
230 |
4 |
8 |
300 |
4000 |
0.12 |
0.08 |
300 |
310 |
5 |
9 |
60 |
900 |
0.7 |
0.06 |
600 |
620 |
2 |
10 |
40 |
1100 |
0.09 |
0.10 |
400 |
450 |
3 |
11 |
20 |
1200 |
0.08 |
0.14 |
200 |
230 |
5 |
12 |
50 |
700 |
0.06 |
0.10 |
500 |
550 |
2 |
13 |
70 |
900 |
0.10 |
0.8 |
700 |
760 |
6 |
14 |
30 |
800 |
0.14 |
0.6 |
300 |
330 |
3 |
15 |
20 |
600 |
0.10 |
0.9 |
200 |
250 |
4 |
16 |
60 |
1000 |
0.11 |
0.011 |
600 |
620 |
2 |
17 |
400 |
1400 |
1.4 |
0.014 |
400 |
410 |
3 |
18 |
50 |
1000 |
0.9 |
0.07 |
500 |
530 |
5 |
19 |
20 |
800 |
1.1 |
1.2 |
200 |
240 |
2 |
20 |
70 |
6000 |
0.12 |
0.8 |
700 |
760 |
6 |
21 |
40 |
900 |
0.7 |
0.12 |
400 |
430 |
3 |
22 |
50 |
1100 |
0.09 |
0.7 |
500 |
520 |
5 |
23 |
20 |
1400 |
0.08 |
0.10 |
200 |
240 |
7 |
24 |
60 |
700 |
0.06 |
0.5 |
600 |
620 |
3 |
25 |
30 |
1200 |
0.10 |
0.9 |
300 |
360 |
2 |
Задание 4. По условию задачи 4 найти:
вероятность того, что среди выданных аккумуляторов окажется не менее m новых;
наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии;
дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Исходные данные взять в таблице 5.4
Таблица 5.4 – исходные данные к заданию 4
№ варианта |
а – количество новых аккумуляторов |
b – количество ремонтированных аккумуляторов |
n – количество выданных аккумуляторов |
m – минимальное количество новых аккумуляторов |
1 |
13 |
12 |
9 |
2 |
2 |
15 |
15 |
5 |
5 |
3 |
12 |
17 |
12 |
7 |
4 |
16 |
13 |
6 |
3 |
5 |
13 |
12 |
9 |
2 |
6 |
14 |
16 |
14 |
6 |
7 |
12 |
14 |
12 |
4 |
8 |
13 |
15 |
13 |
5 |
9 |
16 |
12 |
6 |
2 |
10 |
14 |
13 |
4 |
3 |
11 |
12 |
15 |
12 |
5 |
12 |
15 |
12 |
5 |
2 |
13 |
17 |
16 |
7 |
6 |
14 |
13 |
13 |
9 |
3 |
15 |
12 |
14 |
12 |
4 |
16 |
16 |
12 |
6 |
2 |
17 |
14 |
13 |
7 |
3 |
18 |
15 |
15 |
5 |
5 |
19 |
12 |
12 |
12 |
2 |
20 |
17 |
16 |
7 |
6 |
21 |
14 |
13 |
9 |
3 |
22 |
15 |
15 |
15 |
5 |
23 |
12 |
17 |
12 |
7 |
24 |
16 |
13 |
6 |
3 |
25 |
13 |
12 |
8 |
2 |
Задание 5. По условию задачи 5 найти:
вероятность безотказной работы оборудования;
среднее время безотказной работы оборудования;
частоту отказов.
Исходные данные взять в таблице 5.5.
Таблица 5.5 – исходные данные к заданию 5
№ варианта |
λ1·105, 1/час |
λ2·105, 1/час |
λ3·105, 1/час |
λ4·105, 1/час |
λ5·105, 1/час |
λ6·105, 1/час |
λ7·105, 1/час |
1 |
3 |
8 |
0.8 |
0.11 |
0.3 |
3.1 |
2 |
2 |
5 |
1.2 |
0.12 |
1.4 |
0.5 |
5.2 |
5 |
3 |
2 |
7 |
0.7 |
0.9 |
0.2 |
2.1 |
7 |
4 |
6 |
10 |
0.10 |
1.1 |
0.6 |
6.2 |
3 |
5 |
3 |
5 |
0.5 |
0.12 |
0.3 |
3.3 |
2 |
6 |
4 |
9 |
0.9 |
0.7 |
0.4 |
4.4 |
6 |
7 |
2 |
11 |
1.1 |
0.09 |
0.2 |
2.3 |
4 |
8 |
3 |
4 |
0.12 |
0.08 |
0.3 |
3.1 |
5 |
9 |
6 |
9 |
0.7 |
0.06 |
0.6 |
6.2 |
2 |
10 |
4 |
1.1 |
0.09 |
0.10 |
0.4 |
4.5 |
3 |
11 |
2 |
1.2 |
0.08 |
0.14 |
0.2 |
2.3 |
5 |
12 |
5 |
7 |
0.06 |
0.10 |
0.5 |
5.5 |
2 |
13 |
7 |
9 |
0.10 |
0.8 |
0.7 |
7.6 |
6 |
14 |
3 |
8 |
0.14 |
0.6 |
0.3 |
3.3 |
3 |
15 |
2 |
6 |
0.10 |
0.9 |
0.2 |
2.5 |
4 |
16 |
6 |
1 |
0.11 |
0.011 |
0.6 |
6.2 |
2 |
17 |
4 |
14 |
1.4 |
0.014 |
0.4 |
4.1 |
3 |
18 |
5 |
10 |
0.9 |
0.07 |
0.5 |
5.3 |
5 |
19 |
2 |
8 |
1.1 |
1.2 |
0.2 |
2.4 |
2 |
20 |
7 |
6 |
0.12 |
0.8 |
0.7 |
7.6 |
6 |
21 |
4 |
9 |
0.7 |
0.12 |
0.4 |
4.3 |
3 |
22 |
5 |
11 |
0.09 |
0.7 |
0.5 |
5.2 |
5 |
23 |
2 |
14 |
0.08 |
0.10 |
0.2 |
2.4 |
7 |
24 |
6 |
7 |
0.06 |
0.5 |
0.6 |
6.2 |
3 |
25 |
3 |
12 |
0.10 |
0.9 |
0.3 |
3.6 |
2 |
Задание 6. По условию задачи 6 найти процент осей, которые будут браковаться. Исходные данные взять в таблице 5.6
Таблица 5.6 – исходные данные к заданию 6
№ варианта |
dn – номинальный размер, мм |
d1 – минимальный размер, мм |
d2 – максимальный размер, мм |
σ – среднеквадратическое отклонение, мм |
1 |
13 |
12 |
14 |
0.25 |
2 |
15 |
14 |
16 |
0.54 |
3 |
12 |
10 |
13 |
0.73 |
4 |
16 |
13 |
17 |
0.36 |
5 |
13 |
12 |
15 |
0.28 |
6 |
14 |
12 |
16 |
0.65 |
7 |
12 |
10 |
14 |
0.43 |
8 |
13 |
10 |
15 |
0.55 |
9 |
16 |
12 |
18 |
0.23 |
10 |
14 |
13 |
16 |
0.32 |
11 |
12 |
11 |
14 |
0.57 |
12 |
15 |
12 |
17 |
0.25 |
13 |
17 |
16 |
19 |
0.68 |
14 |
13 |
10 |
15 |
0.34 |
15 |
12 |
10 |
14 |
0.42 |
16 |
16 |
12 |
18 |
0.24 |
17 |
14 |
13 |
17 |
0.39 |
18 |
15 |
12 |
17 |
0.53 |
19 |
12 |
11 |
14 |
0.25 |
20 |
17 |
16 |
19 |
0.67 |
21 |
14 |
13 |
15 |
0.35 |
22 |
15 |
14 |
17 |
0.58 |
23 |
12 |
10 |
13 |
0.75 |
24 |
16 |
13 |
17 |
0.31 |
25 |
13 |
12 |
15 |
0.22 |
Задание 7. По условию задачи 7 найти количественные характеристики надежности стартера. Исходные данные взять в таблице 5.7
Таблица 5.7 – исходные данные к заданию 7
№ варианта |
k – параметр масштаба |
λо·105 – интенсивность потока отказов, 1/час |
t – время контроля, час |
1 |
1.3 |
0.25 |
140 |
2 |
1.5 |
0.54 |
160 |
3 |
1.2 |
0.73 |
130 |
4 |
1.6 |
0.36 |
170 |
5 |
1.3 |
0.28 |
150 |
6 |
1.4 |
0.65 |
160 |
7 |
1.2 |
0.43 |
140 |
8 |
1.3 |
0.55 |
150 |
9 |
1.6 |
0.23 |
180 |
10 |
1.4 |
0.32 |
160 |
11 |
1.2 |
0.57 |
140 |
12 |
1.5 |
0.25 |
170 |
13 |
1.7 |
0.68 |
190 |
14 |
1.3 |
0.34 |
150 |
15 |
1.2 |
0.42 |
140 |
16 |
1.6 |
0.24 |
180 |
17 |
1.4 |
0.39 |
170 |
18 |
1.5 |
0.53 |
170 |
19 |
1.2 |
0.25 |
140 |
20 |
1.7 |
0.67 |
190 |
21 |
1.4 |
0.35 |
150 |
22 |
1.5 |
0.58 |
170 |
23 |
1.2 |
0.75 |
130 |
24 |
1.6 |
0.31 |
170 |
25 |
1.3 |
0.22 |
150 |
Посметьев Валерий Иванович
Мурзинов Валерий Леонидович
Кадырметов Анвар Минирович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ И ДИАГНОСТИКА
Методические указания к выполнению
лабораторных работ для студентов специальностей
150200 – Автомобили и автомобильное хозяйство,
240400 – Организация и безопасность движения
Редактор С.О. Петровская
Подписано в печать 4.12.02 Формат 60х84 1/16. Заказ №
Объем 1.5 п.л. Усл. п.л. 1.4 Уч.-изд. д. 1.7 Тираж 100.
394613, Воронеж, ул. Тимирязева, 8
РИО ВГЛТА. УОП ВГЛТА.