4.3 Гипергеометрическое распределение

, (3.1)

где X – дискретная случайная величина; P_m – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, 2,…, а – возможные значения случайной величины; a, b, n – параметры гипергеометрического распределения.

Важнейшие числовые характеристики случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение, равны соответственно:

• математическое ожидание

, (3.2)

; (3.3)

• дисперсия

, (3.4)

(3.5)

Задача 4. На складе имеется = 9 аккумуляторов; из них а = 5 новые аккумуляторы, а 4 бывшие в употреблении. Со склада случайным образом берутся n = 4 – аккумуляторов и передаются на станцию технического обслуживания. Найти:

1. вероятность того, что среди выданных аккумуляторов окажется не менее трех новых;

2. – наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии;

3. дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. Построим ряд распределения случайной величины Х, используя формулу (3.1).

Таблица 3.1 – вероятности для различного количества новых аккумуляторов в выданной партии.

1) Вероятность того, что в выданной партии аккумуляторов не менее трех новых соответствует условию, записанному на основании данных табл. 3.1:

2) Наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии соответствует математическому ожиданию случайной величины Х. Воспользуемся формулой (3.2)

,

т.е. наиболее вероятно, что в выданной партии окажется от двух до трех новых аккумуляторов.

3) Для определения дисперсии воспользуемся табл. 3.1 и формулой (3.5), т.к. она менее громоздка для данного случая, чем формула (3.4):

.

Ответ: , , .

4.4 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция плотности распределения непрерывной случайной величины, имеющей показательное распределение

, при , (4.1)

где х – значение случайной величины; – параметр показательного распределения.

Функция распределения случайной величины

. (4.2)

Наиболее важные числовые характеристики показательного распределения случайной величины:

• (4.3) – математическое ожидание;

• (4.4) – дисперсия;

• (4.5) – среднеквадратическое отклонение.

Количественные характеристики надежности оборудования при экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов при условии, что интенсивность отказов является величиной постоянной :

• (4.3) – вероятность безотказной работы оборудования в течение времени >t;

• (4.4) – вероятность возникновения отказа оборудования в течение времени t;

• (4.5) – частота отказов оборудования в течение времени t;

• (4.6) – среднее время безотказной работы оборудования.

Задача 5. Оборудование для подготовки сжатого воздуха состоит из 3 модулей. Время работы каждого модуля до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром , где . 1/час, 1/час, 1/час.

Требуется вычислить за время час количественные характеристики надежности оборудования для подготовки сжатого воздуха:

1. – вероятность безотказной работы оборудования;

2. – среднее время безотказной работы оборудования;

3. – частоту отказов.

Решение. Отказ оборудования для подготовки сжатого воздуха наступает при отказе одного из его модулей. При расчете характеристик надежности будем полагать, что отказ каждого модуля является событием случайным и не зависимым. 1)Вероятность безотказной работы оборудования в течении времени t равна произведению вероятностей безотказной работы ее модулей в течении того же времени. Используя формулу (4.3), получим

где – вероятность безотказной работы соответственно первого, второго и третьего модуля.

2) Средняя наработка на отказ оборудования за время определится из соотношения

час.

3) Частота отказов оборудования за время часов

.

Ответ: , час, 1/час

4.5 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

, (5.1)

где х – значение случайной величины; – параметры нормального распределения.

Наиболее важные числовые характеристики нормального распределения случайной величины:

• (4.3) – математическое ожидание;

• (4.4) – дисперсия;

• (4.5) – среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал имеет вид:

.

Пользоваться этой зависимостью для вычисления вероятности нормально распределенной случайной величины достаточно сложно, поэтому для облегчения выкладок используют функцию Лапласа (или «интеграл вероятностей»)

, (5.2)

тогда

. (5.3)

Для функции (5.2) существуют в различных справочных руководствах таблицы по определению ее числовых значений.

Задача 6. На ремонтном участке восстанавливаются оси, номинальный диаметр которых после ремонта должен равняться мм. Фактически диаметр восстановленных осей является величиной случайной и распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием (мм) и среднеквадратическим отклонением (мм). При контроле бракуются все оси, не проходящие диаметром через калибр (мм), и все проходящие через калибр (мм). Найти процент осей, которые будут браковаться.

Решение. Воспользуемся формулой (5.3) и учтем, что и можем записать

Полученный результат показывает, что годных осей окажется 91.8%, следовательно брак составит

(%).

Ответ: 8.2%