О. М. САРЫЧЕВА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Конспект лекций

НОВОСИБИРСК 2006

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятие и критерии устойчивости .... .......... 4

1.1. Введение ......................... 4

2. Понятие устойчивости состояния равновесия ЭО. 6

3. Критерий устойчивости систем линейных ОДУ 7

4. Критерий устойчивости дискретных систем 10

2. Методы численного интегрирования систем ОДУ . II

1. Постановка задачи ...... II

2. Явный метод Эйлера и его характеристики. 16

3. Явные методы Рунге-Кутта. ............ 19

4. Понятие "жесткой"системы........ 21

5. Неявный метод Эйлера ...,,...,.... 22

6. Неявные методы Рунге-Кутта...... 25

3. Методы решения нелинейных САУ 27

1. Постановка задачи 27

2. Метод Ньютона 31

3. Метод продолжения решения по параметру.. 33

4. Метод дифференцирования по параметру..... . 34

4. Решение систем линейных АУ . 36

1. Метод Гаусса... 35

2. Способ повышения точности решения. . 38

3. Метод Зейделя . 39

4. Метод наискорейшего спуска .. 41

5. Технология разреженных матриц. .. 42

1. Постановка задачи 42

2. Разреженный строчный формат......................... 43

3. Статические и динамические схемы хранения........... 45

4. Метод переменного переключателя....... 46

5. Расширенный вещественный накопитель 48

6. Сложение двух матриц ....... 49

7. Скалярное умножение двух разреженных векторов.. 53

8. Произведение разреженной матрицы общего вида

и заполненного вектора-столбца. ,. 54

5.9. Произведение двух разреженных матриц 55

10. Транспонирование разреженной матрицы.. 60

11. Треугольное разложение разреженной симметричной матрицы ...... ................. . 62

Список литературы 64

ПОНЯТИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

1.1 Введение

В данной работе обсуждаются методы одновариантного анализа экономических объектов - определения выходных параметров объекта при заданных значениях внутренних и внешних параметров. Большинство задач одновариантного анализа сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений (АУ).

Системы ОДУ являются математическими моделями экономических систем которые описывают динамику их развития. Это значит, что модели экономической динамики исследуют процессы, т.е. последовательности состояний и переходы от одних состояний к другим, определяют возможные и лучшие траектории движения. После того, как переход системы из одного состояния в другое завершен, в ней наступает состояние равновесия, которое называется установившимся режимом или статикой объекта . Экономическая статика изучает допустимые и рациональные состояния экономического объекта. Адекватными математическими моделями при этом являются нелинейные или линейные систему АУ.

Итак, в динамическом режиме экономический объект (ЭО) может описываться системой ОДУ.

, (1.1)

где x-n –мерный вектор переменных состояния ЭО, U-m-мерный вектор входных воздействий ЭО;

.

Очевидно, что в этом случае F (.)- n-мерная вектор-функция, пара­метры которой могут зависеть от времени (функция F (.) зависит от t ) или не зависеть от него (функция F(.) не зависит явно от t ).

u(t) x(t)

ЭО

В дальнейшем будут изучаться численные методы исследования поведения ЭО (1.1) во времени.

•

Рис.1.2.

Если входной сигнал ЭО , функция F (.) не зависит явно от t (параметры ЭО также константы), а сам ЭО ус­тойчив, то после завершения динамического режима в ЭО ус­танавливается некоторое рав­новесное состояние (рис.1.2). Процесс перехода системы из одного состояния в другое называется переходным процессом. На рис.1.2 показан устойчивый переходный процесс.

Ввиду того, что если то Следователь­но, сами значения элементов вектора можно найти, решая каким-либо способом в общем случае нелинейную систему АУ вида

0 1.2

Таким образом, система (1.2) является математической моделью ЭО в установившемся режиме.

Если область функционирования ЭО лежит в достаточно малой окрестности состояния , то функцию можно линеаризо­вать в этой окрестности в точке , . Тогда вместо нелинейной системы АУ (1,2) будем иметь линейную систему АУ вида

где ;

При этом элементы и суть константы, вычисленные в точке линеаризации ,

= =

В следующих разделах обсудим численные методы решения систем (1.2) и (1.3) с учетом специфики ЭО: большой мерности экономичес­ких задач и разнородности составляющих частей ЭО.