Самостійні завдання

Самостійні завдання, що пропонуються, з дисципліни "Основи теорії систем та системного аналізу" мають на меті краще засвоєння матеріалу відповідного курсу лекцій. Завдання складаються з трьох розділів, які виконуються поступово при вивченні студентами відповідного розділу.

Самостійні завдання стосуються питань загальної теорії систем і математичних моделей, що їм відповідають.

1. Завдання на побудову математичних регресійних моделей систем. Завдання складається з двох задач і передбачає отримання лінійних математичних моделей систем за результатами експериментальних досліджень. Кількість отриманих пар значень змінних входу та змінної виходу дорівнює 7 і залишається незмінною для всіх варіантів.

Задача 1. Були проведені експериментальні дослідження впливу розмірів інвестицій в розвиток виробництва підприємства (x₁ в тис. гривень) та основних фондів підприємства (x₂ в тис. грн.) на отриманий річний прибуток (y в тис. грн.). Аналіз було здійснено за показниками сімох підприємств приблизно однакового роду діяльності.

Дані експериментальних досліджень приведені в таблицях варіантів.

Варіант 1

y : 960 1260 610 590 900 820 880

x1 : 18 14 6 1 9 6 12

x2 : 60 180 80 120 100 170 110

Варіант 2

y : 1090 750 780 950 800 500 850

x1: 40 7 6 15 20 3 9

x2: 170 70 95 120 90 60 90

Варіант 3

y : 1020 800 1130 740 180 800 960

x1 : 17 12 16 6 12 15 18

x2: 105 90 115 90 70 80 100

Варіант 4

y : 960 900 1130 590 890 830 880

x1: 18 7 16 1 7 15 12

x2 : 60 160 110 120 140 80 110

Варіант 5

y : 1260 1200 800 720 1060 920 990

x1: 14 14 1 1 3 10 2

x2 : 180 180 90 80 130 110 120

Варіант 6

y : 1290 750 780 950 800 500 850

x1: 43 6 5 17 20 3 9

x2: 170 70 95 120 90 60 90

Варіант 7

y : 960 760 980 800 860 610 590

x1: 18 3 12 15 7 6 1

x2: 60 220 160 80 160 80 120

Варіант 8

y : 860 590 800 920 900 700 880

x1: 18 1 12 14 15 6 15

x2: 60 120 80 170 120 90 80

Варіант 9

y 1160 800 720 810 790 990 700

x1: 14 2 1 3 7 13 1

x2: 180 90 80 110 100 170 110

Варіант 10

y : 800 700 710 1020 620 850 870

x1: 3 2 5 14 3 5 12

x2: 82 105 66 110 60 108 70

В цій задачі необхідно:

а) отримити чисельні значення коефіцієнтів b₀ та b₁ лінійної регресійної моделі: y = b₀ + b₁x₁, тобто визначити залежність прибутку від розмірів капіталовкладень підприємства. При цьому дані про x₂ не беруться до уваги;

б) середню квадратичну похибку моделі;

в) коефіцієнт кореляції експериментальних даних з лінійною моделлю;

г) в довільному масштабі представити графік функції y(x₁) на фоні кореляційного поля отриманих експериментальних точок.

Зробити необхідні висновки, де пояснити фізичний зміст b₀ та b₁, а також роль і значення коефіцієнта кореляції R.

Задача 2. Розрахувати параметри нелінійної регресії, скориставшись таблицею приведення нелінійної форми функціональної залежності до лінійної.

Вихідні дані до задачі. Нумерація даних для функцій відповідає їх нумерації в таблиці, значення х для всіх прикладів однакове:

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3,5; х₄ = 5;

2. у₁ = 0,1; у₂ = 0,05; у₃ = 0,027; у₄ = 0,02;

3. у₁ = 10,3; у₂ = 5; у₃ = 3; у₄ = 2,4;

4. у₁ = 0,17; у₂ = 0,18; у₃ = 0,19; у₄ = 0,192;

5. у₁ = 2; у₂ = 4; у₃ = 11; у₄ = 31;

6. у₁ = 17,4; у₂ = 53; у₃ = 1040; у₄ = 20300;

7. у₁ = 3; у₂ = 5; у₃ = 10; у₄ = 20;

8. у₁ = 2,1; у₂ = 4,2; у₃ = 7,7; у₄ = 9,3;

9. у₁ = 1; у₂ = 4; у₃ = 12; у₄ = 25;

10. у₁ = 1; у₂ = 1,6; у₃ = 2,1; у₄ = 2,4;

11. у₁ = 1; у₂ = 2,4; у₃ = 3,5; у₄ = 4,2;

12. у₁ = 3,3; у₂ = 2,5; у₃ = 1,8; у₄ = 1,4;

13. у₁ = 3,33; у₂ = 5; у₃ = 6,36; у₄ = 7,14;

14. у₁ = 74; у₂ = 27; у₃ = 17; у₄ = 15;

15. у₁ = 500; у₂ = 50; у₃ = 19; у₄ = 13;

16 у₁ = 2,1; у₂ = 2,28; у₃ = 2,65; у₄ = 3,12, n = 1,5 (показник степені х).

Побудувати графіки отриманих моделей.

Скористатися наступною таблицею для представлення нелінійної форми функцій у вигляді лінійної і подальшим переходом до попередніх параметрів регресії.

№	Функція у(х)	х′	у′	а	b
1	2	3	4	5	6
1	y = a + bx	x	y	a′	b′
2	y = 1/(a + bx)	x	1/y	a′	b′
3	y = a + b/x	1/x	y	a′	b′
4	y = x/(a + bx)	x	x/y	a′	B′
5	y = abx	x	lg y	10a′	10b′
6	y = aebx	x	ln y	ea′	b′
7	y = a10bx	x	lg y	10a′	b′
8	y = 1/(a + be-x)	e-x	1/y	a′	b′
9	y = axb	lg x	lg y	10a′	b′
10	y = a + b lgx	lg x	y	a′	b′
11	y = a + b lnx	ln x	y	a′	b′
12	y = a/(b + x)	x	1/y	1/ b′	a′/ b′
13	y = ax/(b + x)	x	x/y	1/ b′	a′/ b′
14	y = aeb/x	1/x	ln y	ea′	b′
15	y = a10b/x	1/x	lg y	10a′	b′
16	y = a + bxn	xn	y	a′	b′

Варіанти завдань:

І. 3, 11; ІІ. 4, 9; ІІІ. 2, 10; ІV.13, 15; V. 8, 12; VI. 5, 16; VII. 6, 12; VIII. 14, 4; IX. 7, 11; X. 2, 15; XI. 3, 14; XII. 4, 16; XIII. 5, 13; XIV. 6, 9; XV. 7, 12; XVI. 8, 2; XVII. 9, 10; XVIII. 10, 14; XIX. 11, 12; XX.12, 16; XXI. 13, 16; XXII. 14, 2; XXIII. 15, 9; XXIV 16, 6; XXV. 13, 6; XXVI. 4, 5.

Задача 2. Для експериментальних даних, приведених в першій задачі цього розділу, додатково прийняти до уваги дані про основні фонди підприємства та їх вплив на розвиток виробництва (x₂) і виконати наступне:

а) взяти лінійну регресійну модель y(x₁;x₂) у вигляді:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂,

і визначити числові значення b₀, b₁, b₂;

б) проаналізувати, чому коефіцієнт впливу x₁ на y (тобто b₁) в першій і в другій задачах відрізняються. Пояснити це явище.

в) оцінити отриману модель, розрахувавши дисперсії, коефіцієнти кореляції та детермінації: