Кручение

Кручение возникает, если из всех внутренних силовых факторов в теле действует только внутренний крутящий момент (M_x0). В технике кручение встречается достаточно часто, трансмиссионные валы, элементы пространственных конструкций, обыкновенный замочный ключ – примеры стержней, работающих на кручение. Момент внутренних усилий, возникающих в любом сечении вала при кручении и поворачивающий это сечение вокруг продольной оси, называется крутящим.

Рассмотрим вал (рис. 24): пусть: М₁=М Нм, М₂=3М Нм, М₃=2М Нм. Разобьем вал на участки. Внутренний крутящий момент в любом сечении определённого участка вала равен сумме всех внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Знак внутреннего крутящего момента определяется по направлению внешнего момента, если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против хода часовой стрелки, то внутренний крутящий момент M_x положительный.

I участок

М_x= -М₁= -М.

II участок

М_x= -М₁+М₂= -М+3М=2М.

III участок

М_x=-М₁+М₂+М₃=-М+3М+2М=4М.

П остроим эпюру внутренних крутящих моментов, с помощью эпюры можно найти М_x в любом сечении вала.

Опыты показывают, что при скручивании вала круглого сечения происходит следующее:

• контуры поперечных сечений в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются;

• все первоначально прямолинейные образующие поворачиваются на один и тот же угол  и превращаются в винтовые линии, а квадраты, нанесенные на поверхность вала превращаются в ромбы (рис. 25);

• радиусы сечений при деформации остаются прямолинейными;

• каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закрутки .

Определим напряжение, действующее при кручении в сечениях круглого вала. Зависимость между внутренним крутящим моментом и возникающими касательными напряжениями можно записать в виде:

.

(4.11)

Задача является внутренне статически неопределимой. Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 26). При приложении внешнего крутящего момента точка А переместится в положение А₁. С одной стороны дуга АА₁=dx, а с другой стороны AA1 =d, тогда:

.

(4.12)

В соответствии с законом Гука:

.

(4.13)

Выражая  из формулы (4.13) и подставляя вместо  выражение из (4.12), получим:

.

(4.14)

Подставим (4.14) в (4.11) и получим:

.

(4.15)

Условие жесткости. Преобразуем выражение (4.5) с учетом того, что - полярный момент инерции сечения и получим условие жесткости вала круглого сечения в виде:

или .

(4.16)

Д еформация стержня круглого сечения характеризуется взаимным поворотом сложных сечений на угол закручивания . Полный угол поворота  одного сечения относительно другого, отстоящего от него на расстояние l, можно определить по формуле:

.

(4.17)

Произведение GJ_p - жесткость при кручении, отражает влияние размеров поперечного сечения стержня (J_p) и влияние упругих свойств материала на деформируемость.

Учитывая, что , запишем условие прочности при кручении:

,

(4.18)

где - полярный момент сопротивления сечения.