Вопросы для самоконтроля

• Производная сложной функции.

• Производные высших порядков.

• Правило Лопиталя.

• Условие возрастания и убывания функций.

• Точки экстремума.

• Необходимое и достаточное условие экстремума.

• Выпуклость и вогнутость функций, точки перегиба.

• Асимптота.

• Общая схема исследования функций и построения графиков.

Типовое задание

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение.

т.к. в точке х=2 знаменатель дроби обращается в нуль;

точка пересечения с осью Оу - (0;2,5),

точки пересечения с осью Ох – (-2,8;0), (1,8;0).

следовательно, функция ни четная и ни нечетная;

4. Функция не периодическая, так как относится к классу дробно-рациональных функций;

(1;3) – точка максимума, (3;7) – точка минимума.

Функция возрастает при и убывает при

График функции выпуклый при и вогнутый при

Так как функция в точке х=2 не существует, то график точек перегиба не имеет;

7. Точка разрыва х=2.

следовательно, х=2 – вертикальная асимптота,

следовательно, горизонтальной асимптоты нет,

у=х+3 – наклонная асимптота;

8. Построим график функции.

Алгоритм решения типового задания

Дана функция y=f(x).

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью Оу, нужно вычислить f(0). Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох, нужно решить уравнение f(х)=0.

3. Определить функцию на четность или нечетность. Если выполняется равенство f(-x)=f(x), то функция четная, если f(-х )= -f'(x), то функция нечетная, если ни одно из равенств не выполняется, то функция ни четная и ни нечетная.

4. Определить функцию на периодичность.

5. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

6. Исследовать функцию на перегиб.

7. Определить уравнение асимптот графика функции.

8. Найти дополнительные точки, если это необходимо.

9. Построить график функции.

Индивидуальные задания для самостоятельного решения

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Практическое занятие № 3 Интегрирование простейших функций.

Цель: Обеспечить усвоение понятий: первообразная, неопределённый интеграл. Развить умения и навыки вычислять неопределённые интегралы с помощью таблицы, использовать основные свойства неопределённых интегралов. Развивать умения самостоятельной работы, логическое мышление, правильно формулировать свои мысли в процессе общения, систематизировать полученные знания. Воспитать познавательный интерес.

Студент должен знать:

• определение неопределенного интеграла;

• формулу Ньютона-Лейбница;

Студент должен уметь:

• использовать свойства неопределенного интеграла при интегрировании функции;

• правильно употреблять таблицу интегралов;

• владеть навыками интегрирования функции методами непосредственного интегрирования.

Вопросы для самоконтроля

• Первообразная функции одной переменной.

• Неопределенный интеграл и его свойства.

• Таблица основных формул интегрирования.

Типовое задание

Найти интеграл

.

Решение:

,

где .

Индивидуальные задания для самостоятельного решения

Практическое занятие № 4 Вычисление простейших определённых интегралов.

Цель: Обеспечить усвоение понятий: определённый интеграл, различие между неопределённым и определённым интегралом. Развить умения вычислять определённые интегралы методом замены переменной.

Студент должен знать:

• определение и свойства определенного интеграла;

• формулу Ньютона-Лейбница;

Студент должен уметь:

• использовать свойства определенного интеграла при интегрировании функции;

• владеть навыками вычисления определенного интеграла методом непосредственного интегрирования и методом замены переменной;

• правильно употреблять ранее известные формулы математики.