3.Лабораторна робота InvMatr на тему “Розв’язання слр за методом оберненої матриці”

Завдання. Для заданої СЛР знайти головну матрицю системи, а також її обернену матрицю. Здійснити перевірку того, що знайдена матриця дійсно є оберненою і знайти розв’язок СЛР за методом оберненої матриці. Провести перевірку знайденого розв’язку.

Хід виконання. Для заданої системи лінійних рівнянь (СЛР):

1. Записати СЛР у матричному виді. Знайти її головну та розширену матриці.

2. Знайти визначник головної матриці СЛР.

3. Знайти доповняльні алгебраїчні мінори головної матриці СЛР і обернену матрицю до головної матриці СЛР. Здійснити перевірку того, що знайдена матриця дійсно є оберненою матрицею до головної матриці СЛР.

4. Знайти розв’язок системи за допомогою оберненої матриці. Здійснити перевірку знайденого розв’язку.

5. Знайти розв’язок СЛР з цілими коефіцієнтами за допомогою стандартної програми на ЕОМ або написати власну програму.

6. Оформити звіт та захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

10. Квадратна матриця.

11. Визначник матриці, його властивості.

12. Ранг матриці, його властивості.

13. Обернена матриця, приєднана матриця та зв'язок між ними

14. Транспонована матриця, її властивості.

15. Доповняльні алгебраїчні мінори.

16. Алгоритм знаходження елементів оберненої матриці.

Приклад виконання роботи InvMatr

Лабораторна робота InvMatr на тему “Розв’язання СЛР за методом оберненої матриці”.

Варіант 33. Виконав студент групи БІТ-1-05, Іванов Олексій Вікторович. Дата виконання: 5.10.2005.

Завдaння. Розвязати систему лінійних рівнянь.

(1.3.3)

за допомогою оберненої матриці. Провести перевірку знайденого розвязку.

Виконання роботи. Систему (1.3.3) можна записати у матричному вигляді:

(1.3.4)

або , де - вектор-рядок невідомих , - вектор-рядок правої частини. - головна матриця системи. 1.Знаходження головного визначника. Використовуюч додаток Windows, InteractiveDet, одержуємо .

2.Знаходження доповняльних (алгебраїчних) мінорів. Будь-який доповняльний мінор одержуємо з головного визначника викреслюванням -го рядка і -го стовпця. Тому маємо:

,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	.

3.Знаходження матрицю алгебраїчних доповнень. Алгебраїчне доповнення до елементу матриці системи (1.3.3) знаходиться за формулою ( ), то матриця алгебраїчних доповнень дорівнює

5. Знаходження оберненої матриці. Обернена матриця знаходиться за формулою

(1.3.5)

Тому

6. Перевірка знайденої оберненої матриці. Треба здійснити перевірку двох співвідношень і (за означенням оберненої матриці). Нехай , .

1) Перевірка першого співвідношення . Знайдемо матрицю Для її елементів маємо

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тому і перевірка першого з співвідношень означення оберненої матриці здійснена.

2) Перевірка другого співвідношення. Знайдемо матрицю . Для її елементів маємо

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тому і перевірка другого з співвідношень означення оберненої матриці здійснена.

Як наслідок, .

Тут

,

,

,

.

Отже, маємо вектор розв'язку

3.Перевірка знайденого вектора розв’язку. Перевірку знайденого вектора розв’язку здійснюємо підстановкою знайдених значень невідомих у ліві частини рівнянь системи і одержання значень правих частин. При маємо:

1) ;

2) ;

3)-5 ;

4)

5) .

Праві частини рівнянь системи дорівнюють лівим частинам. Тому вектор дійсно є розв’язком системи (1.3.3 ). Перевірка здійснена.

Висновки до лабораторної роботи. Точні розв’язки СЛР з цілими коефіцієнтами можуть бути числами не цілими, але, як це бачимо з формул для знаходження оберненої матриці ,є завжди числа дробові. Тому, при знаходженні розв’язку потрібно вести точні (без заокруглювань) підрахунки з дробами (у вигляді чисельник / знаменник), щоб одержати точні значення виразів, які ми підраховуємо.