21.Елементи квантової статистики та фізики твердого тіла

21.1. Статистичні методи у квантовій механіці

Як відомо, із квантової механіки, динаміку елементарних частинок, які знаходяться у силовому потенціальному полі, визначають за допомогою -функцій Шредінгера. Фізичний зміст цих функцій полягає у тому, що перебування частинки у певному стані задається ймовірністю, густина якої дорівнює квадратові модуля -функції. Можна ввести 6-вимірний простір із 3-х просторових координат x,y,z та 3-х проекцій імпульсу на них - p_х,p_у,p_z, який називається фазовим. Кожній точці цього простору відповідає певний стан частинки. Імовірність стану визначається виразом

dW = f (q, p ) dФ. ( 1 )

У (1) через q та р умовно позначені просторові координати та проекції імпульсу відповідно, d = dpdq - елемент об'єму фазового простору, а

.

Функція f(p,q) - густина ймовірності того, що частинка знаходиться в одиничному фазовому об'ємі з координатами q та р. Фазовий простір системи з n частинок є 6n-вимірним.

Кожна точка фазового простору повинна була б відповідати одному визначеному станові, як це є у класичній фізиці, але у квантовій механіці де координати та імпульс мають невизначеність за Гейзенбергом

(2)

стану частинки відповідає деякий фазовий об'єм dФ=dqdp. Виходячи з (2) можна визначити мінімальний фазовий об'єм, що відповідає одному станові частинки

.

Якщо деяка функція координат та імпульсу F(p,q) визначена на фазовому просторі системи частинок, то її середнє значення обчислюється за правилом:

(3)

В (3) інтегрування проводиться по усьому фазовому об'єму системи Ф.

Уведення фазового простору (q,p) та густини розподілу f(q,p) є одним із методів опису динаміки системи елементарних частинок через неперервні змінні q та p. Існують також інші методи опису динаміки стану елементарних частинок. Один із них ґрунтується на визначенні стану системи через дискретну змінну величину, якою може бути, наприклад, енергія системи. У цьому випадку функція розподілу f(q,p) визначається на множині дискретних значень енергії Е_n, де n - сукупність усіх дискретних квантових чисел, що визначають стан системи. У найбільш загальному вигляді функцію розподілу запропонував Гібсс

. (4)

Стала А визначається з умови нормування

. (5)

21.2. Розподіл Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака

За типом просторової симетрії псі-функції системи квантових частинок поділяються на два види. Системи частинок, які описуються симетричними відносно перестановки координат псі-функціями, мають цілий спін і називаються бозонами, а при антисиметричних із напівцілим спіном - ферміонами. Відповідно до цього, у квантовій статистиці розглядаються дві статистики з функціями розподілу Фермі-Дірака (ферміони) та Бозе-Ейнштейна (бозони). Вони визначають середнє число частинок системи, що мають енергію E_n при температурі Т і їх можна записати у вигляді

, (6)

де для ферміонів, для бозонів. Величина  називається хімічним потенціалом. Вона визначається величиною зміни внутрішньої енергії системи при зміні числа її частинок на одиницю. У випадку ферміонів, якими є електрони у металі,  дорівнює енергії Фермі енергії найвищого заповненого енергетичного рівня. Для фотонів та фононів , =0.

З визначення (6) випливає, що

,

де N - число частинок системи, а рівність називається умовою нормування функції розподілу f(E_n).

Вираз (6) можна представити у вигляді

.

При достатньо високих температурах, коли виконується нерівність

,

обидві статистики переходять у класичну

. (7)

Перехід від (6) до (7) має температурну межу, що називається температурою виродження системи

. (8)

При Т < система визначається однією з двох квантових статистик, а при Т > - класичною статистикою (перехід від (6) до (7)). Для вільних електронів у металі середня енергія Фермі  2,15 еВ і  25000 К. Це означає, що за звичайних умов електронний газ у металі потрібно розглядати як квантову систему аж до температур порядку 25000 К. Як показують розрахунки, енергія Фермі пропорційна концентрації носіїв струму у степені . Якщо концентрація n електронів у металі складає , то у напівпровіднику носії струму мають . Таким чином температура виродження для напівпровідника складає , тобто електронний газ у напівпровідниках завжди невироджений.