4.3. Метод Эйлера. Улучшение точности
Обобщение метода Эйлера связано с необходимостью повышения точности при заданном шаге сетки h.
Определение
4.2.
Численный метод называют методом k-го
порядка точности, если его погрешность
пропорциональна
.
Метод Эйлера, следовательно, имеет первый порядок точности. Для уменьшения погрешности, очевидно, необходимо улучшить приближение (4.7). Этого можно достичь, например, с помощью использования разложения по формуле Тейлора в окрестности каждого из узлов сетки. Например, для достижения второго порядка точности используем приближение
(4.20)
Формула
(4.20) позволяет вычислить
в каждой последующей точке по известным
,
в предыдущей точке. Следовательно,
осталось определить
.
Естественный способ сделать это состоит
в замене вторых производных соответствующими
разностными отношениями. Разностное
отношение для второй производной (как
и для высших производных) определяется
по аналогии с (4.4). Следует при этом иметь
в виду, что, поскольку знак t
в правой части (4.4) произволен,
разностное отношение определяется не
единственным способом. Например, для
второй производной можно использовать
разностное отношение
(4.21)
Тогда вместо (4.20) получим
(i
= 1,2,…, N-1) (4.22)
Видно,
что в рекуррентном соотношении (4.22)
задействованы три соседних узла. Таким
образом, желая повысить порядок точности
метода, мы несколько усложняем процедуру
вычислений. При построении по аналогии
с (4.21), (4.22) численного метода k-го
порядка точности
получим рекуррентное соотношение, в
котором величина
выражена через значения
в m
предыдущих узлах. Численные схемы,
приводящие к таким соотношениям,
называются явными
m-шаговыми.
Численные схемы, которые вообще не
приводят к рекуррентным соотношениям,
называют неявными.
Методы, в которых разностные отношения
строятся на дополнительно введенных
промежуточных узлах (между i-м
и i+1-м),
относятся к методам Рунге
– Кутта
[].
Здесь мы рассмотрим более простой способ повышения точности численного решения ЗК. Он является одношаговым и основан на получении высших производных в ряде Тейлора повторным дифференцированием уравнения (4.1). Например, имея в виду (4.20), из (4.1) получим
(4.23)
Продемонстрируем данный способ на примере ЗК (4.10), (4.11).
В этом случае
(4.24)
Отсюда следует
(4.25)
Легко получить выражения для абсолютной и относительной погрешности в i-м узле:
(4.26)
(4.27)
Из (4.26) и (4.27) видно, что действительно описанный метод и в самом деле имеет второй порядок точности. На рисунке 4.4. представлены графики приближенных решений первого порядка точности (черные квадраты), второго порядка точности (светлые квадраты), и точное решение ЗК (4.10), (4.11). И то, и другое приближенные решения получены на сетке с шагом h = 0.15 (количество узлов N = 20). Рисунок 4.4. хорошо иллюстрирует эффективность численных методов высокого порядка точности.
Рис.4.4.