Р о з д і л 4

СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ І ПОКАЗНИКИ ВАРІАЦІЇ

Методичні вказівки

Середня величина - це узагальнюючий показник, який харак­теризує типовий розмір варіюючої ознаки у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. У статистичній практиці існує дві форми середніх величин: прості (за первинними, незгрупованими даними) і зважені (за вторинними, згрупованими даними). Розрізняють такі види середніх величин: су­мальні і структурні (порядкові). Сумальні середні поді­ляють­ся на степеневі, логарифмічні, показові, параболічні тощо. У економічних дослід­женнях переважне застосування знаходять степеневі середні, серед яких виділяють середню арифметичну, середню гармонічну, середню квадра­тич­ну та інші.

У загальному вигляді степенева середня може бути представлена:

- для незгрупованих даних (ряд значень):

(проста);

- для згрупованих даних (варіаційний ряд):

(зважена),

де - степенева середня;

- окремі значення ознаки;

m - показник степеня;

n – обсяг сукупності;

- частота.

Базою розрахунку та критерієм правильності вибору форми серед­ньої величини є вхідне співвідношення середньої (змістова формула).

Середня арифметична - найрозповсюджений вид степеневих се­ред­­ніх. Вона застосовується у тих випадках, коли загальний обсяг ознаки, який варіює, для сукупності складається як сума значень ознаки для окремих її одиниць.

Для незгрупованих даних застосовується середня арифметична проста:

.

Для згрупованих даних використовується формула середньої арифметичної зваженої:

.

Значні спрощення при розрахунку середньої арифметичної зваженої (особливо для варіаційних рядів з рівними інтервалами) надає «метод моментів»:

,

де: - довільно вибране значення (віддається перевага середині центрального інтервалу або інтервалу, який має найбільшу частоту);

- умовні варіанти в рівних інтервалах ( );

- ширина інтервалу.

Для сукупності, в якій наведені середні для окремих її частин (гру­пові або часткові середні), загальна середня обчислюється на основі гру­по­вих середніх ( ), зважених по чисельності відповідних частин сукуп­ності ( ):

.

Середня гармонічна використовується для усереднення варіантів, протилежних індивідуальним значенням.

Для незгрупованих даних використовується середня гармонійна проста:

,

Для згрупованих даних застосовують середню гармонійну зважену:

, де .

Найбільшого застосування серед описових (структурних середніх) отримали мода і медіана.

Мода ( ) - це величина ознаки (варіанту), яка найбільш часто зустрічається у сукупності. У дискретному варіаційному ряду модою є варіант, який має найбільшу частоту. У інтервальних варіаційних рядах мода визначається за формулою:

,

де: - нижня межа модального інтервалу, тобто інтервалу з найбільшою частотою;

- частота модального інтервалу;

- частота передмодального інтервалу;

- частота післямодального інтервалу;

- ширина модального інтервалу.

Медіана ( ) - це варіанта, яка міститься у середині варіаційного ряду. У дискретних рядах порядковий номер медіанного варіанту визначається як (n+1)/2 (для ряду з непарним числом n), або як середнє значення двох середніх варіантів, які мають порядкові номери n/2 і n/2+1 (для ряду з парним числом n). У интервальному варіаційному ряду медіа­на визначається за формулою:

,

де: - нижня межа медіанного інтервалу;

- сума частот, накопичених до медіанного інтервалу;

- сума частот всього варіаційного ряду;

- ширина медіанного інтервалу;

- частота медіанного інтервалу.

При вивченні структури варіаційного ряду, окрім медіани, використовуються також квартилі, що ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, і децилі - на 10 рівних частин. Квартилів налічується 3, а децилів - 9. Розрахунок цих показників у інтервальному варіаційному ряду аналогічний розрахунку медіани. Формула для квартилів у інтер­вальних варіаційних рядів має вид:

,

де: - номер квартиля;

- нижні межі відповідних квартильних інтервалів;

- сума частот ряду;

- сума частот, накопичених до відповід­них квартильних інтервалів;

- частоти відповідних квартильних інтервалів;

- величини відповідних квартильних інтервалів.

При вивченні статистичних сукупностей поряд з середніми величи­нами велике практичне значення має вивчення варіації ознак. Для виміру і оцінки варіації використовуються абсолютні і відносні показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації та інші.

Розмах варіації ( ) характеризує діапазон варіації і обчислюється як різниця між максимальним ( ) та мінімальним ( ) значення­ми ознаки:

.

Середнє лінійне відхилення (Л) являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їхньої середньої арифметичної:

(для ряду значень, тобто для незгрупованих даних),

(для варіаційного ряду, тобто для згрупованих даних)

Дисперсія ( ) являє собою середній квадрат відхилення варіантів від їх середньої арифметичної:

(для ряду значень)

(для варіаційного ряду)

Для обчислення дисперсії на практиці використовуються спрощені способи розрахунку:

; ,

де: - середня арифметична квадратів умовних варіант:

- квадрат середньої арифметичної умовних варіант:

- середня арифметична квадратів варіантів;

- квадрат середньої арифметичної.

Середнє квадратичне відхилення ( ) характеризує міру абсо­лютного коливання ознаки відносно середньої величини і розрахо­вується як корінь квадратний із дисперсії:

(для ряду значень)

(для варіаційного ряду)

Коефіцієнт варіації ( ) характеризує відносне коливання значень ознаки відносно середньої і являє собою виражене у відсотках (або у вигляді частки) відношення середнього лінійного або середнього квадратичного відхилення до середньої величини:

; .

Якщо статистична сукупність розбита на групи за певною ознакою, то для такої сукупності можуть бути розраховані такі дисперсії: загальна, групові (внутрішньогрупові), середня від групових, міжгрупова.

Загальна дисперсія ( ) вимірює варіацію ознаки всієї сукуп­ності під впливом усіх чинників, які зумовили цю варіацію, і обчис­люється за однією з формул, наведених вище.

Внутрішньогрупові дисперсії показують значення варіацій в кожній групі, зумовлені усіма чинниками, окрім чинника, покладеного в основу групування:

Середня з групових дисперсій відображає варіацію, зумовлену всіма чинниками, окрім чинника, покладеного в основу групування, але у се­редньому по сукупності:

.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових середніх, зумовлену впливом ознак, за якими проведено групування:

Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгруповій дисперсії. Це називається правилом розкладання варіації:

.

Відношення міжгрупової дисперсії до загальної показує, яка частина загальної варіації ознаки зумовлена варіацією ознаки, за якою прове­дено групування, і носить назву емпіричного коефіцієнта детермінації:

.

Для оцінки щільності зв'язку між ознакою групування та резуль­тативною ознакою обчислюється емпіричне кореляційне відношення:

.

З а д а ч і

1. Прибуток п'яти сімей характеризуються такими даними:

Показники	Сім'ї
	1	2	3	4	5
Прибуток, грн.	450	800	480	500	900
Число членів сім'ї, осіб	3	4	3	2	4

Визначте:

1. Середній прибуток на одну сім’ю.

2. Середній прибуток на одного члена сім'ї (для кожної сім’ї окремо і для всіх сімей загалом).

Результати проаналізуйте.

4.2. Є такі дані щодо результатів іспиту з мікроекономіки для сту­ден­тів двох груп:

Порядковий номер студента	Оцінки
	1 група	2 група
1	3	4
2	5	3
3	2	5
4	3	4
5	4	5
6	5	5
7	4	3
8	3	5
9	5	4
10	5	5

1. По кожній групі cкладіть варіаційний ряд, який характеризує розподіл студентів за балом.

2. Визначте середній бал студентів кожної групи: а) способом простої (незваженої) середньої; б) способом зваженої середньої.

Порівняйте результати. Зробіть висновки.

4.3. Є такі дані щодо обсягу і курсу продажу акцій на аукціонах:

Аукціони	Кількість проданих акцій	Курс продажу 1 акції, грн.
1	200	105
2	300	120
3	1000	150

Визначте:

1. Середню кількість проданих акцій.

2. Середній курс продажу 1 акції.

Зробіть висновки.

4.4. На протязі 7-годинного робочого дня бригада токарів була зай­нята виготовленням однакових деталей. Витрати часу першого токаря на виготовлення однієї деталі становили 15 хвилин, другого - 13, третього - 12, четвертого - 14 і п'ятого - 16 хвилин.

Визначте середній час для виготовлення однієї деталі.

4.5. Є такі дані по двом заводам, які виробляють однорідну продук­цію:

	1999 р.		2000 р.
Номер заводу	Витрати часу на одиницю продукції, годин	Виготовле­но продук­ції, штук	Витрати часу на одиницю продукції, годин	Виготовлено продукції, штук
1	2.0	200	1.9	570
2	3.0	250	3.0	840

Обчисліть середні витрати часу на виготовлення одиниці продукції по двом заводам у 1999 і 2000 рр. Вкажіть, який вид середньої треба вико­ристати для обчислення цих показників.

Визначте характеристику динаміки середніх витрат часу на виготов­лення одиниці продукції для кожного заводу і по двом заводам разом.

Зробіть висновки.