Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Что, напротив, это не обязательно в случае разрывной функции, показывает рис. 157 на стр. 311.

*2. Доказательство теоремы Больцано. Дадим строгое доказательство этой теоремы. Если следовать Гауссу и другим великим математикам, то можно принять этот факт и без доказательства. Нашей целью является сведение этой теоремы к основным свойствам системы действительных чисел, в частности, к постулату Дедекинда—Кантора о стягивающихся отрезках (стр. 94). Для этого рассмотрим отрезок I, a 6 x 6 b, в котором задана функция f(x), и разобьем его на два средней

точкой x1 = a +2 b . Если в этой средней точке мы получим f(x1) = 0, то доказывать

больше уже нечего. Если, однако, f(x1) 6= 0, то f(x1) должно быть или больше, или меньше нуля. В обоих случаях одна из

получим последовательность стягивающихся отрезков I1, I2, I3, . . . В последнем случае постулат Дедекинда—Кантора обеспечивает существование в исходном отрезке I такой точки a, которая принадлежит всем отрезкам сразу. Мы утверждаем, что f(a) = 0, так что a и будет той точкой, существование которой нужно доказать.

До сих пор предположение о непрерывности функции f(x) использовано еще не было. Сейчас придется на него сослаться, заканчивая доказательство способом от противного. Мы докажем, что f(a) = 0, допуская противоположное и приходя затем к противоречию. Предположим, что f(a) 6= 0: пусть, например, f(a) = 2e > 0. Так как функция f(x) непрерывна, то мы найдем (может быть, маленький) отрезок J длины 2d с центром в точке a — такой, что значение функции f(x) во всем промежутке J отличается от f(a) меньше чем на e. Затем, так как f(a) = 2e, то мы можем быть уверены, что f(x) > e в каждой точке J, т. е. что f(x) > 0 в отрезке J. Но отрезок J фиксирован, и если n достаточно велико, то маленький отрезок In должен непременно попасть внутрь J, поскольку последовательность длин In стремится к нулю. В этом заключается противоречие: в самом деле, из того, каким образом был выбран промежуток In, вытекает, что функция f(x) имеет противоположные знаки в двух конечных точках каждого промежутка In, так что функция f(x) принимает отрицательные значения где-то в промежутке J. Отсюда следует нелепость предположения f(a) > 0, а также (совершенно таким же образом) f(a) < 0; следовательно, доказано, что f(a) = 0.

3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. Другой существенный и интуитивно ясный факт, касающийся непрерывных функций, был сформулирован Карлом В е й е р ш т р а с с о м (1815–1897), который, возможно, более чем кто-либо другой является ответственным за современное стремление к строгости в математическом анализе. Эта теорема утверждает: если функция f(x) непрерывна в интервале I, a 6 x 6 b, не исключая также и конечных точек интервала a и b, то в интервале I должна существовать по крайней мере одна точка, в которой функция f(x) достигает своего наибольшего значения M, и другая точка, в которой функция f(x) достигает своего наименьшего значения m. Говоря интуитивно, это значит, что график непрерывной функции u = f(x) должен иметь по крайней мере одну наивысшую и одну наинизшую точки.

Существенно отметить, что это утверждение может быть неверным, если функция u = f(x) перестает быть непрерывной в конечных точках про-

межутка I. Например, функция f(x) = 1x не имеет наибольшего значения в

промежутке 0 < x 6 1, хотя она и непрерывна внутри промежутка. И вместе с тем разрывная функция вовсе не обязательно достигает наибольшего и наименьшего значений, даже если она ограниченная. Рассмотрим, например, «чрезвычайно» разрывную функцию f(x), определенную следующим

образом:

f(x) = x при иррациональном x,

в промежутке 0 6 x 6 1. Все значения, которые принимает эта функция, заключены между 0 и 1. Среди них имеются сколь угодно близкие к 0 и 1: они получаются, если x будем выбирать иррациональным и достаточно близким к 0 или 1. Но f(x) никогда не может быть равным ни 0, ни 1,

поскольку для рациональных x мы имеем f(x) = 12 , а для иррациональных мы имеем f(x) = x. Итак, значения 0 и 1 ни в какой точке не достигаются.

* Теорема Вейерштрасса может быть доказана почти таким же образом, как и теорема Больцано. Разобьем интервал I на два замкнутых полуинтервала I′ и I′′ и фиксируем наше внимание на I′, как на интервале, в котором следует искать наибольшее значение функции f(x), если только в интервале I′′ не найдется такой точки a, что f(a) больше всех значений функции f(x) в интервале I′; в этом последнем случае мы выберем интервал I′′. Тот интервал, который мы выбрали, обозначим через I1. Поступим теперь с интервалом I1 точно так же, как мы поступали с I; пусть при этом получим интервал I2, и т. д. Этот процесс определит последовательность I1, I2, I3, . . . , IN, . . . вложенных интервалов, которые все содержат некоторую точку z. Мы докажем, что значение функции в этой точке, f(z) = M, есть наибольшее из всех значений функции f(x), достигаемых в

исходном интервале, т. е. что не может существовать такой точки s, что f(s) > M. Предположим, что нашлась бы точка s, удовлетворяющая условию f(s) = M + 2e, где e есть некоторое (может быть, и очень маленькое) положительное число. В силу непрерывности функции f(x) мы можем точку z окружить маленьким интервалом K, не захватывающим точки s, и притом таким, что в интервале K значения функции f(x) отличаются от f(z) = M меньше чем на e, так что в нем мы непременно будем иметь f(x) < M + e. Но при достаточно больших n интервал In лежит внутри интервала K, а вместе с тем интервал In был определен так, что ни одно значение f(x) при x, лежащем вне интервала In, не может превзойти значений функции f(x) в точках x из этого интервала.

Но точка s лежит вне интервала In и в ней f(s) > M + e, тогда как в интервале K, а тем самым и в интервале In, мы имеем f(x) < M + e. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Существование по крайней мере одного наименьшего значения m может быть доказано тем же самым методом; впрочем, оно является следствием предыдущего, так как наименьшее значение функции f(x) достигается там же, где достигается наибольшее значение функции g(x) = −f(x).

Теорема Вейерштрасса может быть доказана аналогичным образом и для непрерывных функций от двух или большего числа переменных x, y, . . . В этом случае придется вместо замкнутых интервалов (со включением конечных точек) брать замкнутые области, например, прямоугольники в плоскости x, y (со включением контура).

Упражнение. В каком пункте доказательств теорем Больцано и Вейерштрасса мы воспользовались предположением, что функция f(x) определена и непрерывна во всем отрезке (замкнутом) a 6 x 6 b, а не только при a < x 6 b или a < x < b?

Доказательства теорем Больцано в Вейерштрасса носят явно неконструктивный характер. Они не предоставляют метода для «эффективного» нахождения положения нулевой точки или наибольшего и наименьшего значения функции с заранее назначенной степенью точности в результате конечного числа операций. Доказано только лишь само существование, или, вернее, абсурдность несуществования, упомянутых значений. Это обстоятельство представляет собой еще один важный пункт, против которого «интуиционисты» (см. стр. 114) выдвинули свои возражения; некоторые из них даже настаивали, чтобы подобные теоремы были вообще изгнаны из математики. Изучающий математику не должен, впрочем, принимать эти возражения более серьезно, чем это сделало большинство критиков.

*4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.

Пусть x1, x2, x3, . . . есть некоторая бесконечная последовательность чисел, различных или нет, содержащихся в отрезке I, a 6 x 6 b. Последовательность может стремиться или не стремиться к пределу. Но как бы то ни было, всегда можно извлечь из такой последовательности, выбрасывая некоторые из ее членов, такую новую бесконечную по-

следовательность y1, y2, y3, . . . , которая стремилась бы к пределу, заключенному в промежутке I.

Чтобы доказать эту теорему, разделим интервал I с помощью средней

По крайней мере в одном из них будет находиться бесчисленное количество членов xn основной последовательности; обозначим его через I1. Выберем один из этих членов xn1 и обозначим его через y1. Проделаем то же самое с промежутком I1. Так как в интервале I1 имеется бесконечное множество членов xn, то их должно быть бесконечное множество также и по крайней мере в одной из половин I1; обозначим эту половину через I2. На отрезке I2 возьмем член xn, для которого n > n1, и обозначим его через y2. Продолжая таким же образом, мы можем найти последовательность вложенных отрезков I1, I2, I3, . . . и подпоследовательность y1, y2, y3, . . . членов основной последовательности таким образом, что yn лежит в интервале In, каково бы ни было n. Эта последовательность интервалов стягивается к некоторой точке y промежутка, и ясно, что последовательность y1, y2, y3, . . . имеет предел y, что и требовалось доказать.

* Эти рассуждения допускают обобщение того типа, который характерен для современной математики. Рассмотрим переменное X, пробегающее некоторое множество S, в котором каким-то образом определено понятие «расстояния». S может быть множеством точек на плоскости или в пространстве. Но это не является необходимым; например, S может быть также множеством всех треугольников на плоскости. Если X и Y являются двумя треугольниками с вершинами A, B, C и A′, B′, C′ соответственно, то в качестве «расстояния» между треугольниками можно взять, например, число

d(X, Y) = AA′ + BB′ + CC′,

где AA′ обозначает обычное расстояние между точками A и A′, и т. д. Как только во множестве введено понятие «расстояния», мы имеем возможность определить понятие последовательности элементов X1, X2, X3, . . ., стремящейся к пределу X — также элементу множества S. Мы подразумеваем под этим, что d(X, Xn) → 0 при n → ∞. Теперь мы скажем, что множество S компактно, если из каждой последовательности X1, X2, X3, . . . элементов этого множества можно извлечь подпоследовательность, стремящуюся к некоторому пределу X, принадлежащему множеству S. В предыдущем пункте мы показали, что замкнутый промежуток a 6 x 6 b компактен в указанном смысле. Таким образом, понятие компактного множества можно считать обобщением понятия замкнутого интервала на числовой оси. Отметим, что числовая ось в целом некомпактна, поскольку

последовательность целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . . не стремится ни к какому пределу и не содержит в себе никакой подпоследовательности, которая стремилась бы к пределу. Также и открытый интервал некомпактен, например, 0 < x < 1, не

включающий конечных точек; действительно, последовательность 12 , 13 , 14 , . . . или

любая ее подпоследовательность стремится к пределу 0, который не принадлежит, однако, рассматриваемому открытому промежутку. Таким же образом можно показать, что область плоскости, состоящая, скажем, из внутренних точек некоторого квадрата или прямоугольника, некомпактна; но она становится компактной после присоединения точек границы. Нетрудно также убедиться, что множество всех треугольников с вершинами, лежащими внутри или на окружности данного круга, компактно.

Понятие непрерывности допускает обобщение на случай, когда переменное X пробегает любое множество S, лишь бы в этом последнем было предварительно введено понятие стремления к пределу. Говорят, что функция u = F(X) (где u мыслится как действительное число) непрерывна на элементе X, если всякий раз, как последовательность элементов X1, X2, X3, . . . имеет предел X, соответствующая последовательность чисел F(X1), F(X2), F(X3), . . . имеет предел F(X). (Можно дать определение и с помощью e, d.) Легко также убедиться, что теорема Вейерштрасса остается в силе для случая обобщенной непрерывной функции F(X), заданной на некотором компактном множестве:

Если u = F(X) есть непрерывная функция, определенная для всех элементов компактного множества S, то существует обязательно такой элемент S, для которого F(X) достигает своего наибольшего значения, и другой элемент, для которого F(X) достигает своего наименьшего значения.

Доказательство не представит никакого труда для того, кто схватил общий характер относящихся сюда идей; мы не пойдем дальше в этом же направлении. Мы увидим в главе VIII, что теорема Вейерштрасса в ее общей формулировке имеет особенно большое значение в теории максимумов и минимумов.

§6. Некоторые применения теоремы Больцано

1.Геометрические применения. С помощью простой и общей теоремы Больцано можно доказать некоторые утверждения, на первый взгляд отнюдь не представляющиеся вполне очевидными. Установим, прежде всего, следующее: если A и B — две заданные фигуры на плоскости, то

существует такая прямая в этой плоскости, которая обе фигуры одновременно делит на равновеликие (в смысле площади) части. Под «фигурой» здесь понимается всякая часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой.

Начнем доказательство с того, что выберем произвольную фиксированную точку P в нашей плоскости и проведем из нее фиксированный луч PR, от которого будем вести отсчет углов. Каков бы ни был луч PS, составляющий угол x с лучом PR, существует направленная прямая, па-

раллельная PS и делящая фигуру A на равновеликие части. Действительно, возьмем одну из направленных прямых, параллельных PS, такую что вся фигура A лежит по одну ее сторону; пусть эта прямая будет l1. Cтанем подвергать l1 параллельному переносу таким образом, чтобы при окончательном положении (которое назовем l2) вся фигура A оказалась уже по другую ее сторону (рис. 173). В таком случае функция, определяемая как разность площади части A, расположенной вправо от направленной прямой, и площади части A, расположенной влево («вправо» — «к востоку», «влево» — «к западу», если прямая направлена, скажем, «на север»), оказывается положительной для положения прямой l1 и отрицательной для положения l2. Так как эта функция непрерывна, то, по теореме Больцано, она обращается в нуль при каком-то промежуточном положении прямой, которое мы обозначим теперь через lx и при котором, очевидно, фигура A разбивается пополам. Итак, каково бы ни было x (0◦ 6 x < 360◦), существует прямая lx, разбивающая A пополам.

l2

S

B

P R A lx

l1

Рис. 173. Одновременное деление пополам двух площадей

Обозначим теперь через y = f(x) разность между площадью части фигуры B справа от lx и площадью части B слева от lx. Допустим для определенности, что прямая l0, параллельная PR и разбивающая A пополам, справа имеет большую´ часть площади B, чем слева; тогда y положительно при x = 0◦. Пусть теперь x возрастает до 180◦; тогда прямая l180, параллельная PR и разбивающая A пополам, совпадает с l0 (но направлена в противоположную сторону, а «правая» и «левая» стороны переместились); отсюда ясно, что значение y при x = 180◦ численно то же, что и при x = 0◦, но с обратным знаком, т. е. отрицательно. Так как y есть функция x, непрерывная при 0◦ 6 x 6 180◦ (упомянутая разность площадей, очевидно, изменяется непрерывно при вращении секущей прямой), то существует такое значение x = a, при котором y обращается в нуль. Но тогда прямая la разбивает пополам обе фигуры A и B одновременно. Наша теорема доказана.

Следует заметить, что мы установили всего-навсего существование прямой, обладающей заданным свойством, но не указали определенной процедуры для ее построения: в этом — характерная черта «чистых» математических доказательств существования.

lx+90◦

lx

A2 A1

A4

A3

x + 90◦ x

Рис. 174. Деление площади на четыре равные части

Вот другая, аналогичная проблема: дана одна фигура A на плоскости; требуется разбить ее на четыре равновеликие части двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Чтобы доказать существование решения, вернемся к тому этапу решения предыдущей проблемы, когда была введена прямая lx, но фигура B еще не была введена в рассуждение. Рассмотрим прямую lx+90, перпендикулярную к lx и также разбивающую A пополам. Если занумеруем четыре части A так, как показано на рис. 174, то получим,

очевидно,

A1 + A2 = A3 + A4

и

A2 + A3 = A1 + A4.

Отсюда вычитанием получим

A1 − A3 = A3 − A1,

т. е.

A1 = A3,

а значит,

A2 = A4.

Итак, существование решения нашей проблемы будет доказано, если установим существование такого угла a, что для прямой la будет удовлетворено равенство двух частей нашей фигуры

A1(a) = A2(a),

так как отсюда будет вытекать равенство всех четырех частей. Рассмотрим теперь функцию y = f(x),

f(x) = A1(x) − A2(x),

где A1(x) и A2(x) — части фигуры, соответствующие прямой lx. При x = 0◦ пусть будет, например, f(0) = A1(0) − A2(0) > 0. Тогда при x = 90◦ получит-

ся: f(90) = A1(90) − A2(90) = A2(0) − A3(0) = A2(0) − A1(0) < 0. Но f(x) — непрерывная функция; значит, при каком-то значении a между 0◦ и 90◦

получится f(a) = A1(a) − A2(a) = 0. Тогда прямые la и la+90 разбивают фигуру на четыре равновеликие части.

Эти проблемы обобщаются на случай трех и большего числа измерений. В случае трех измерений первая проблема формулируется следующим образом: даны три пространственных тела; требуется найти плоскость, разбивающую каждое из них пополам одновременно. Доказательство возможности решения также основывается на теореме Больцано. В случае большего числа измерений аналогичное утверждение также справедливо, но доказательство требует применения более тонких методов.

*2. Применение к одной механической проблеме. Мы закончим эту главу рассмотрением одной на первый взгляд трудной механической проблемы, которая, однако, решается очень просто посредством соображений, связанных с непрерывностью. (Проблема была предложена Г. У и т н и.)

Предположим, что поезд на протяжении некоторого конечного промежутка времени проходит прямолинейный отрезок пути от станции A до станции B. Вовсе не предполагается, что движение происходит с постоянной скоростью или с постоянным ускорением. Напротив, поезд может двигаться как угодно: с ускорениями, с замедлениями; не исключены даже мгновенные остановки или частично даже движение в обратном направлении, прежде чем в итоге поезд придет на станцию B. Но так или иначе движение поезда на протяжении всего временного´ промежутка считается известным заранее; другими словами, считается заданной функция s = f(t), где s — расстояние поезда от станции A, а t — время, отсчитываемое от момента отправления поезда. К полу одного из вагонов прикреплен на шарнире твердый тяжелый стержень, который без трения может двигаться вокруг оси, параллельной осям вагонов, вперед и назад — от пола до пола. (Мы допускаем, что, прикоснувшись к полу, он в дальнейшем останется на нем лежать, если ему не случится «подпрыгнуть» снова.) Вопрос заключается в следующем: возможно ли в момент отхода поезда поместить стержень в такое начальное положение, т. е. дать ему такой угол наклона, чтобы на протяжении всего пути он не прикоснулся к полу, будучи предоставлен воздействию движения поезда и силе собственной тяжести?

На первый взгляд может показатьсяaсовершенно невероятным, чтобы при наперед определенной схеме движения поезда взаимодействие силы тяжести и сил реакции было способно обеспечить требуемое равновесие стержня при единственном условии — надлежащем выборе начального положения. Но мы сейчас установим, что такое начальное положение всегда существует.

A B

Рис. 175. Проблема Уитни

К счастью, доказательство не подразумевает точного знания законов динамики. (Исходя из этих законов, решить задачу было бы чрезвычайно трудно.) Достаточно принять только одно допущение физического содержания: последующее движение стержня зависит непрерывно от его начального положения; в частности, если при данном начальном положении стержень во время пути упадет на пол в одну из сторон, то при всяком начальном положении, достаточно мало отличающемся от данного, он не упадет на пол в противоположную сторону.

Обратим теперь внимание на то, что во всякий момент времени положение стержня характеризуется углом a, который он составляет с полом. Углам a = 0◦ и a = 180◦ соответствуют два взаимно противоположных горизонтальных (лежачих) положения. Обозначим через x значение угла a в начальном положении стержня. Доказательство нашего утверждения будет косвенное, в соответствии с чисто экзистенциальным характером самой проблемы. Допустим, что всегда, т. е. при любом начальном положении стержня, стержень непременно упадет или в одну, или в другую сторону, так что a примет значение или 0◦, или 180◦. Определим тогда функцию f(x) так: f(x) = +1 или −1 смотря по тому, упадет ли стержень в сторону, соответствующую углу a = 0◦ или углу a = 180◦. Свойства функции f(x) таковы: она задана в интервале 0 6 x 6 180◦, непрерывна в нем, и притом f(0) = +1, f(180) = −1. Отсюда, по теореме Больцано, следует, что при каком-то промежуточном значении x (0◦ < x < 180◦) должно выполняться равенство f(x) = 0. А это противоречит тому, что функция f(x) может принимать только значения +1 и −1. Значит, приходится отвергнуть сделанное допущение, согласно которому стержень упадет на пол во время движения поезда при каком угодно начальном его положении.

Совершенно ясно, что приведенное доказательство носит чисто теоретический характер, потому что не дает решительно никаких указаний на то, как определить искомое начальное положение стержня. Вместе с тем, даже если бы такое положение и могло быть вычислено теоретически с абсолютной точностью, практически оно было бы бесполезно вследствие своей неустойчивости. Так, например, в предельном случае, если поезд неподвижен в течение всего «путешествия», решение совершенно очевидно: x = 90◦; но всякий, кто пытался уравновесить иголку в стоячем положении на гладкой горизонтальной поверхности, понимает, насколько это решение практически нереально. Тем не менее с математической точки зрения приведенное доказательство имеет неоспоримый интерес.

Упражнения. 1) Обобщите это рассуждение на случай, когда «путешествие» продолжается бесконечно долго. 1

2) Обобщите также на случай, когда поезд движется по произвольной кривой на плоскости, а стержень может падать в любом направлении, т. е. стержень обладает двумя степенями свободы. (Указание: невозможно непрерывно отобразить круговой диск на одну его окружность, оставляя все точки окружности неподвижными — см. стр. 278.)

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Дальнейшие примеры на пределы

инепрерывность

§1. Примеры пределов

1.Общие замечания. Во многих случаях сходимость последователь-

ности an может быть доказана по следующей схеме. Мы рассматриваем две другие последовательности bn и cn, члены которых, вообще говоря, имеют более простую структуру и обладают тем свойством, что

при всех значениях n. Тогда, если будет установлено, что последовательности bn и cn имеют один и тот же предел a, можно будет утверждать, что последовательность an также имеет предел a.

1Например, воспользуйтесь принципом стягивающихся отрезков (см. стр. 94); если из какого-то положения стержень не упадет за фиксированное конечное время, то за это же время он не успеет упасть также из всех достаточно близких положений. — Прим. ред. наст. изд.