Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния. Однако нет оснований ожидать, что она наверное оказалась бы подходящей при описании физического мира в целом, во всех его обширных пространствах. Положение вещей в геометрии совершенно такое же, какое существует и в физике, где системы Ньютона и Эйнштейна дают неразличимые результаты при малых расстояниях и скоростях, но обнаруживают расхождение, когда рассматриваются большие величины.

Научно-революционное значение открытия неевклидовой геометрии заключается в том, что оно разрушило представление об аксиомах Евклида как о непоколебимой математической схеме, к которой приходится приспособлять наши экспериментальные знания о физической реальности.

4. Модель Пуанкаре. Математик волен видеть «геометрию» во всякой непротиворечивой системе аксиом, говорящих о «точках», «прямых» и т. д.; но его исследования только в том случае будут полезны для физика, если система аксиом находится в соответствии с поведением физических объектов в реальном мире. Мы хотели бы теперь, с этой точки зрения, разобраться в смысле утверждения: «Свет распространяется по прямой линии». Если в этом утверждении содержится физическое определение

«прямой линии», то систему геометрических аксиом следует выбирать таким образом, чтобы получилось соответствие с поведением световых лучей. Вообразим, следуя Пуанкаре, что мир состоит из внутренности круга C и что во всякой точке скорость света пропорциональна расстоянию точки от окружности. Можно тогда доказать, что свет будет распространяться по круговым дугам, образующим прямые углы с окружностью C. В таком мире геометрические свойства «прямых линий» (определенных как световые лучи) будут отличаться от свойств евклидовых прямых. В частности, не будет евклидовой аксиомы параллельности,

так как через данную точку пройдет бесчисленное множество «прямых линий», не пересекающихся с данной «прямой линией». Можно обнаружить, что «точки» и «прямые линии» в описываемом мире будут обладать в точности теми же свойствами, какими обладают «точки» и «прямые» в модели Клейна. Другими словами, мы получили новую модель гиперболической геометрии. Но евклидову геометрию также можно применять в этом

мире: тогда выйдет, что световые лучи, которые уже не будут евклидовыми «прямыми линиями», распространяются по кругам, перпендикулярным к окружности C. Таким образом, одна и та же физическая ситуация может быть описана различными геометрическими системами, если предположить, что физические объекты (в нашем случае — световые лучи) связаны с различными понятиями в этих системах:

Световой луч → «прямая линия» — гиперболическая геометрия Световой луч → «окружность» — евклидова геометрия

Так как в евклидовой геометрии понятие прямой линии сопоставляется с поведением светового луча в однородной среде, то говоря, что геометрия

вописании мира внутри C гиперболическая, мы утверждали бы только то, что физические свойства световых лучей в этом мире те же самые, что и свойства «прямых» гиперболической геометрии.

5.Эллиптическая, или риманова, геометрия. В евклидовой геометрии, как и в гиперболической геометрии Бойяи—Лобачевского, молчаливо допускается, что всякая прямая бесконечна (бесконечность прямой существенно связана с отношением «быть между» и аксиомами порядка). Но, после того как гиперболическая геометрия открыла путь к свободному построению геометрий, естественно возник вопрос о том, нельзя ли осуществить построение таких неевклидовых геометрий, в которых прямые линии конечны и замкнуты. Разумеется, в таких геометриях теряют силу не только постулат о параллельных, но и аксиомы порядка. Современные исследования выяснили значение этих геометрий для новейших физических теорий.

Впервые такие геометрии были подвергнуты рассмотрению в речи, произнесенной

в1851 г. Риманом при вступлении его в

должность приват-доцента Гёттингенского университета. Геометрии с замкнутыми конечными прямыми могут быть построены

без каких бы то ни было противоречий. Вообразим двумерный мир, состоящий из поверхности S сферы, причем под «прямыми» условимся понимать большие круги сферы. Это был бы самый естественный способ описывать «мир» мореплавателя: дуги больших кругов являются кратчайшими кривыми, связывающими две точки на сфере, а это как раз и есть характеристическое свойство прямых на плоскости. В рассматриваемом двумерном мире всякие две «прямые» пересекаются, так что из внешней точки нельзя провести ни одной «прямой», не пересекающейся с данной

(т. е. ей параллельной). Геометрия «прямых» в этом мире называется эллиптической геометрией. Расстояние между двумя точками в такой геометрии измеряется просто как длина кратчайшей дуги большого круга, проходящего через данные точки. Углы измеряются так же, как и в евклидовой геометрии. Самым характерным свойством эллиптической геометрии мы считаем несуществование параллельных.

Рис. 114. Эллиптическая точка

Следуя Риману, мы можем обобщить эту геометрию следующим образом. Рассмотрим «мир», состоящий из некоторой кривой поверхности в пространстве (не обязательно сферы) и определим «прямую линию», проходящую через две точки, как кратчайшую кривую («геодезическую»), соединяющую эти точки. Точки поверхности можно разбить на два класса: 1◦. Точки, в окрестности которых поверхность подобна сфере в том отношении, что она вся лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. 2◦. Точки, в окрестности которых поверхность седлообразна — лежит по обе стороны касательной плоскости. Точки первого класса называются эллиптическими точками поверхности — по той причине, что при небольшом параллельном перемещении касательной плоскости она пересечет поверхность по кривой, имеющей вид эллипса; точки же второго класса носят название гиперболических, так как при аналогичном перемещении касательной плоскости получается пересечение с поверхностью, напоминающее гиперболу. Геометрия геодезических «прямых» в окрестности точки поверхности является эллиптической или гиперболической, смотря по тому, будет ли сама точка эллиптической или гиперболической. В этой модели неевклидовой геометрии углы измеряются, как в обыкновенной евклидовой геометрии.

Изложенная идея была развита Риманом дальше: он рассмотрел геометрии пространства, аналогичные только что разобранным геометриям поверхности. По Риману, «кривизна» пространства, меняясь от точки к точке, определяет характер геометрии в окрестности точки. «Прямые линии» у Римана — геодезические кривые. В эйнштейновой общей теории относительности геометрия пространства есть риманова геометрия; свет распространяется по геодезическим линиям, а кривизна пространства в каждой точке определяется в зависимости от свойств материи в окрестности точки.

Рис. 115. Гиперболическая точка

Возникнув из чисто аксиоматических изысканий, неевклидова геометрия в наши дни стала чрезвычайно полезным аппаратом, допускающим различные применения при изучении физической реальности. В теории относительности, в оптике, в общей теории колебаний неевклидово описание явлений оказывается в ряде случаев гораздо более адекватным физической реальности, чем евклидово.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Геометрия в пространствах более чем трех измерений

1. Введение. То «реальное» пространство, которое служит средой нашего физического опыта, имеет три измерения, плоскость имеет два измерения, прямая — одно. Наша, в обычном смысле понимаемая, пространственная интуиция решительно ограничена тремя измерениями — и дальше не простирается. Тем не менее во многих случаях вполне уместно говорить

неравенство

L(x, y) = ax + by + c > 0,

интерпретируется как полуплоскость, лежащая по одну сторону прямой L = 0, а совокупность таких числовых троек x, y, z, что

L(x, y, z) = ax + by + cz + d > 0,

— как «полупространство», определяемое плоскостью L = 0.

После этих разъяснений нам совсем легко перейти к «четырехмерному» или даже к «n-мерному» пространству. Рассмотрим четверку чисел x, y, z, t. Скажем, что такая четверка представляет собой точку, или, еще проще, есть точка в четырехмерном пространстве R4. Вообще, по определению, точка n-мерного пространства Rn есть не что иное, как система из n действительных чисел x1, x2, . . . , xn, записанных в определенном порядке. Не так важно, что мы не «видим» этой точки. Геометрический язык не перестает быть вполне понятным в случае, если идет речь об алгебраических свойствах n переменных. Дело в том, что многие алгебраические свойства линейных уравнений и т. п. совершенно не зависят от числа входящих переменных, или, как принято говорить, от размерности пространства этих переменных. Мы назовем, таким образом, «гиперплоскостью» совокупность всех таких точек x1, x2, . . . , xn в n-мерном пространстве Rn, которые удовлетворяют линейному уравнению

L(x1, x2, . . . , xn) = a1x1 + a2x2 + . . . + anxn + b = 0.

Точно так же основная алгебраическая задача решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

L1(x1, x2, . . . , xn) = 0

L2(x1, x2, . . . , xn) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ln(x1, x2, . . . , xn) = 0

истолковывается на геометрическом языке как нахождение точки пересечения n гиперплоскостей L1 = 0, L2 = 0, . . . , Ln = 0.

Преимущество такого геометрического способа описания математических факты заключается в том, что он подчеркивает некоторые обстоятельства алгебраического характера, которые не зависят от числа измерений n и вместе с тем в случае n 6 3 могут быть наглядно интерпретированы. Во многих приложениях употребление геометрической терминологии имеет также преимущество краткости, и вместе с тем облегчает аналитические рассуждения, а иногда руководит ими и направляет их в должную сторону. Теория относительности снова может быть приведена здесь в качестве примера области, в которой существенный успех был достигнут по той причине, что три пространственные

координаты x, y, z и временная координата t «события» были объединены в одно «пространственно-временное´ » четырехмерное многообразие x, y, z, t. Подчиняя, таким образом, «пространство-время» этой аналитической схеме и наделяя его, кроме того, свойствами неевклидовой геометрии, удалось описать многие весьма сложные ситуации с замечательной простотой. Столь же полезными оказались n-мерные пространства в механике, в статистической физике, не говоря уже о самой математике.

Приведем еще кое-какие чисто математические примеры. Совокупность всех кругов на плоскости образует трехмерное многообразие, так как круг с центром x, y и радиусом t может быть изображен точкой с координатами x, y, t. Так как радиус круга есть положительное число, то совокупность рассматриваемых точек заполняет полупространство. Таким же образом совокупность всех сфер в обыкновенном трехмерном пространстве образует четырехмерное многообразие, так как каждая сфера с центром x, y, z и радиусом t может быть представлена точкой с координатами x, y, z, t. Куб в трехмерном пространстве с центром в начале координат, ребрами длины 2 и гранями, параллельными координатным плоскостям, состоит из совокупности всех точек x1, x2, x3, для которых |x1| 6 1, |x2| 6 1, |x3| 6 1. Так же точно «куб» в n-мерном пространстве Rn с центром в начале координат, «ребрами» длины 2 и «гранями», параллельными координатным плоскостям, определяется как совокупность точек x1, x2, . . . , xn, для которых одновременно справедливы неравенства |x1| 6 1, |x2| 6 1, . . . , |xn| 6 1. «Поверхность» такого куба состоит из всех точек, для которых хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак равенства. Поверхностные элементы размерности n − 2 состоят из точек, для которых знак равенства стоит по меньшей мере два раза; и т. д.

Упражнение. Дайте описание поверхности такого куба в трехмерном, четырехмерном, n-мерном пространствах.

*3. Геометрический, или комбинаторный, подход. Хотя аналитический подход к n-мерной геометрии чрезвычайно прост и удобен для многих приложений, все же следует упомянуть и о другом методе, носящем чисто геометрический характер. Он основан на редукции от n-мерных данных к (n − 1)-мерным и тем открывает возможность определять многомерные геометрии посредством математической индукции.

Начнем с того, что рассмотрим контур треугольника ABC в двух измерениях. Разрезая его в точке C и затем поворачивая стороны AC и BC соответственно около A и B, мы выпрямим контур в прямолинейный отрезок (рис. 116), на котором точка C будет фигурировать дважды. Полученная одномерная фигура дает исчерпывающее представление контура двумерного треугольника. Сгибая фигуру в точках A и B и добившись совпадения двух точек C, мы имеем возможность восстановить треугольник.

Но важно то, что сгибать вовсе и не нужно. Достаточно условиться, что мы «идентифицируем» (т. е. не будем различать) обе точки C, несмотря на то что эти две точки и не совпадают в обычном смысле. Можно сделать еще следующий шаг: разрезая фигуру также и в точках A и B, мы получим три отрезка CA, AB, BC, которые при желании можно опять сложить таким образом, чтобы был восстановлен «настоящий» треугольник ABC,

C

CA

Рис. 116. Определение треугольника по сторонам с сопоставленными друг другу концами

причем пары идентифицируемых точек совпадут между собой. Идея идентифицировать различные точки в данной совокупности отрезков, чтобы из них построить многоугольный контур (в нашем случае — треугольник), практически иногда оказывается очень полезной. Если нужно отправить в дальнее путешествие какое-нибудь соединение из металлических балок, например, мостовую ферму, то удобнее всего упаковать сложенные вместе, предварительно разъединенные балки, обозначив одними и теми же знаками те концы различных балок, которые должны быть соединены вместе. Такое собрание балок с размеченными концами совершенно эквивалентно пространственной конструкции. Предыдущее замечание приводит к мысли о том, как можно «разнять» двумерный многогранник в трехмерном пространстве, заменяя его фигурами низших измерений. Возьмем, например, поверхность куба (рис. 117). Ее сейчас же можно свести к системе из шести квадратов, стороны которых надлежащим образом идентифицированы; следующий шаг будет состоять в том, чтобы заменить эту систему квадратов системой из 12 прямолинейных отрезков с надлежащим образом идентифицированными концами.

Вообще, любой многогранник в трехмерном пространстве R3 приводится таким образом или к системе плоских многоугольников, или к системе прямолинейных отрезков.

258 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV

Упражнение. Выполните указанную редукцию для всех правильных многогранников (см. стр. 263).

Теперь уже ясно, что мы можем обратить ход наших рассуждений, определяя многоугольник на плоскости с помощью системы прямолинейных отрезков и многогранник в пространстве R3 — с помощью системы многоугольников в R2 или же, при условии дальнейшей редукции, с помощью опять-таки прямолинейных отрезков. Но тогда совершенно естественно определить «многогранник» в четырехмерном пространстве R4 с помощью системы многогранников в R3 при надлежащей идентификации двумерных граней; «многогранник» в R5 — с помощью «многогранников» в R4 и т. д. В конечном счете всякий «многогранник» в Rn сводится к системе отрезков.

Рис. 117. Определение куба по сопоставленным друг другу вершинам и ребрам

Останавливаться на этом вопросе подробнее мы лишены возможности. Добавим лишь несколько замечаний, не приводя доказательств. «Куб» в R4 ограничен 8 трехмерными кубами, из которых каждый имеет со своими «соседями» по идентифицированной двумерной грани. У такого куба 16 вершин, в каждой вершине сходятся по четыре ребра; всего ребер имеется 32. В R4 существует шесть правильных многогранников. Кроме «куба», имеется один многогранник, ограниченный 5 правильными тетраэдрами,

один, ограниченный 16 тетраэдрами, один, ограниченный 24 октаэдрами, один, ограниченный 120 додекаэдрами, и еще один, ограниченный 600 тетраэдрами. Доказано, что в Rn, при n > 4, существует только 3 правильных многогранника: один с n + 1 вершинами, ограниченный n + 1 многогранниками из Rn−1, имеющими по n (n − 2)-мерных граней; один с 2n вершинами, ограниченный 2n многогранниками из Rn−1, имеющими по 2n − 2 (n − 2)- мерных граней; и еще один с 2n вершинами, ограниченный 2n многогранниками из Rn−1, имеющими по n (n − 2)-мерных граней.

Упражнение. Сравните определение «куба» из R4, данное в пункте 2, с определением, данным в настоящем пункте, и установите, что прежнее «аналитическое» определение куба равносильно настоящему «комбинаторному».

Со структурной, или «комбинаторной», точки зрения простейшими геометрическими фигурами размерности 0, 1, 2, 3 являются соответственно точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. Ради единообразия символики обозначим фигуры этого типа соответственно T0, T1, T2, T3. (Индексы указывают на размерность.) Структура каждой из этих фигур характеризуется тем, что каждая фигура типа Tn имеет n + 1 вершин и каждое подмножество из i + 1 вершин фигуры типа Tn (i = 0, 1, . . . , n) определяет некоторую фигуру типа Ti. Например, трехмерный тетраэдр T3 имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани.

T1

Рис. 118. Простейшие элементы в 1, 2, 3, 4 измерениях

Ясно, как будет дальше. Мы определим четырехмерный «тетраэдр» T4 как множество, состоящее из 5 вершин, причем каждое подмножество из 4 вершин порождает фигуру типа T3, каждое подмножество из 3 вершин — фигуру типа T2 и т. д. Фигура типа T4 схематически показана на рис. 118: мы видим, что у нее 5 вершин, 10 ребер, 10 треугольных граней и 5 тетраэдров.

Обобщение на n измерений не представляет труда. Из теории соеди-

множеств по i объектов, которые могут быть составлены из множества r