Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

330 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел e и p. Приведем их без доказательств:

§3. Пределы при непрерывном приближении

1.Введение. Общие определения. В § 2, пункт 1, нам удалось дать

точное определение утверждению: «Последовательность an (т. е. функция an = F(n) натурального переменного n) имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности». Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: «Функция u = f(x) непрерывной переменной x имеет пре-

дел a при стремлении x к значению x1».

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного x употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

x + x3 определена x

для всех значений x, не равных нулю; при этом последнем значении x знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции y = f(x) для значений x в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при x, «стремящемся» к 0 с любой стороны, соответствующие значения u = f(x) «стремятся» к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности между значением функции f(x) и постоянного числа 1:

переменной x достаточно малой окрестностью значения x = 0. Так, например, при x = ±101 имеем f(x) − 1 = 1001 ; при x = ±1001 имеем f(x) − 1 =

как бы мало оно ни было, разность между f(x) и 1 будет меньше чем e, если только расстояние точки x от точки 0 меньше числа d = √e.

В самом деле, если |x| < √e, то

|f(x) − 1| = |x2| < e.

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 319 мы дали определение: последовательность an имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу e, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое N (зависящее от e), что неравенство

|an − a| < e

выполняется для всех n, удовлетворяющих неравенству n > N.

В случае функции f(x) непрерывного переменного x при x, стремящемся к некоторому конечному значению x1, мы просто слова «достаточно большое n» (что характеризуется числом N) заменяем словами «достаточно

близко к x1» (что характеризуется числом d) и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному К о ш и около 1820 г.: функция f(x) имеет предел a, когда x стремится к значению x1, если каждому положительному числу e, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое положительное число d (зависящее от e), что

|f(x) − a| < e

для всех значений x 6= x1, удовлетворяющих неравенству

|x − x1| < d.

Если это имеет место, принято писать

достаточно было всегда выбирать d = √e.

2. Замечания по поводу понятия предела. e-d-определение предела — результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода

кпределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными.

При изучении движения в частности и какого бы то ни было изменения в общем случае математики XVII и XVIII столетий принимали, как нечто достаточно наглядное и не подлежащее дальнейшему анализу, концепцию величины x, меняющейся и в своем непрерывном течении приближающейся

кпредельному значению x1. Они рассматривали другую величину u = f(x), зависящую от времени или от какой-нибудь другой зависящей от времени величины. Оставалось все же проблемой: какой точный математический смысл следует приписывать представлению о том, что f(x) «стремится»

или «приближается» к определенному значению a, когда x движется к x1? Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательно-

сти значений a1, a2, a3, . . . Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной x, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то

описание того, как x «приближается» к заданному значению x1, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны

последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением» и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение — статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения. Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

В определении с помощью e, d независимое переменное не «движется»; оно не «стремится» и не «приближается» к пределу x1 в каком бы то ни было физическом смысле. Правда, эти обороты речи, как и символ →, сохраняются, причем математик вовсе не обязан отказываться от тех, в общем-то весьма полезных, интуитивных представлений, которые с ними связываются. Но когда в частном случае нужно дать ответ на вопрос, существует предел или не существует, то приходится прибегнуть именно к определению с помощью e, d. Спрашивать о том, насколько удовлетворительно это определение соответствует интуитивному «динамическому» представлению о стремлении к пределу, можно с таким же правом, как и о том, насколько удовлетворительно аксиомы геометрии описывают то, что мы называем пространством (в интуитивном смысле).

Обе формулировки в какой-то степени предоставляют возможность работать воображению, и вместе с тем обе они создают адекватную математическую основу для дальнейшего логического построения.

Как и в случае предела последовательности, ключ к правильному пониманию определения Коши лежит в обращении «естественного» порядка, в котором рассматриваются переменные. Прежде мы отмечаем границу e для зависимого переменного, а уже потом стремимся определить подходящую границу d для независимого переменного. Когда мы говорим, что «f(x) → a

при x → x1», то лишь сокращенно высказываем ту мысль, что этот процесс может быть выполнен для любого положительного числа e. В частности, ни одна из частей этого утверждения (например, «x → x1») не имеет смысла сама по себе.

Еще нужно подчеркнуть следующее. Заставляя x «стремиться» к x1, мы можем позволить x быть больше или меньше, чем x1, но возможность равенства явно исключается требованием x 6= x1: x стремится к x1, но никогда не принимает значения x1. Таким образом, мы можем применять наше определение к функциям, не определенным вовсе при x = x1, но имеющим тот или иной предел при x, стремящемся к x1, например, к функции

f(x) = x + x3 , рассмотренной на стр. 331. Исключение значения x = x1 как x

раз соответствует тому факту, что, рассматривая последовательности an при n → ∞ например, предел an = n1 , мы никогда не подставляем в формулу значения n = ∞.

Однако, что касается функции f(x), то когда x стремится к x1, ей не запрещено стремиться к пределу a таким образом, что при некоторых значениях x 6= x1 осуществляется равенство f(x) = a. Например, рассматривая

функцию f(x) = xx при x, стремящемся к 0, мы никогда не позволяем x

быть равным 0, но зато, напротив, равенство f(x) = 1 справедливо при всех x 6= 0, и предел a существует и равен 1 в точном согласии с определением.

ния x = 0, при котором оно принимает вид не имеющего смысла симво-

обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1,

Имеется следующая разница между случаем функции f(x) и случаем последовательности an. В случае последовательности n может стремиться к бесконечности не иначе, как возрастая, тогда как в случае функции переменная x, неограниченно возрастая, имеет право принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если желательно направить внимание на поведение функции f(x) только при больших положительных значениях, то условие |x| > K мы должны заменить условием x > K; напротив, для случая больших по абсолютной величине отрицательных значений x вводим условие x < −K. Чтобы символизировать эти два способа «одностороннего» стремления к бесконечности, мы пишем, соответственно,

x → +∞, x → −∞.

§4. Точное определение непрерывности

В§ 1, пункт 5, мы ввели следующее определение непрерывности функ-

ции: функция f(x) непрерывна в точке x = x1, если при стремлении x к x1 величина f(x) стремится к пределу, равному f(x1). Если мы проанализируем эту формулировку, то увидим, что она подразумевает выполнение следующих двух требований:

а) существует предел a функции f(x) при стремлении переменной x к x1, б) этот предел a должен быть равен f(x1).

Если в определении предела на стр. 332 мы подставим вместо a его значение f(x1), то условие непрерывности принимает следующий вид: функ-

ция f(x) непрерывна при x = x1, если, как бы мало ни было положительное число , можно подобрать такое положительное число d (зависящее от e), что неравенство

|f(x) − f(x1)| < e

будет выполнено для всех x, удовлетворяющих условию

|x − x1| < d

(ограничение x 6= x1, введенное в определении предела, здесь излишне, поскольку неравенство |f(x) − f(x1)| < e при x = x1 удовлетворяется автоматически).

В качестве примера постараемся установить непрерывность функции f(x) = x3, скажем, в точке x1 = 0. Мы имеем

f(x1) = 03 = 0.

Выберем теперь маленькое положительное число e, например, e = 10001 .

Мы должны показать, что, ограничивая значения x числами, достаточно близкими к 0, получим соответствующие значения функции f(x), отли-

чающиеся от 0 меньше, чем на 10001 , т. е. заключенные между −10001 и + 10001 . Мы сразу видим, что значения f(x) не выйдут из этих границ,

Если я утверждаю, что данная функция u = f(x) непрерывна в точке x = x1, то это значит, что я беру на себя по отношению к вам следующие обязательства: вы можете выбрать любое положительное число e, сколь угодно малое, но определенное. Тогда я обязуюсь подыскать такое положительное число d, чтобы неравенство |x − x1| < d влекло за собой неравенство |f(x) − f(x1)| < e. Но при

этом я не обязуюсь найти такое число d, которое подошло бы ко всякому e, которое вы назовете потом: мой выбор d зависит от вашего выбора e. Если вы можете выбрать хоть одно e, для которого я не смогу подобрать подходящего d, то моя игра проиграна — мое утверждение опровергнуто. Для того чтобы доказать, что я могу выполнить мое обязательство в конкретном случае некоторой функции u = f(x), мне нужно построить явно такую положительнуюd функцию

= f(e),

определенную для всякого положительного числа e, для которой я могу доказать,

Теперь становится ясным, что определение непрерывности с помощью e, d не находится в противоречии с тем, что мы могли бы назвать «наблюдаемыми фактами», относящимися к функциям. Таким образом, оно соответствует основному принципу современной науки, который выдвигает в качестве критерия полезности некоторого понятия или «существования» явления (в научном смысле) возможность непосредственно его наблюдать (по крайней мере в принципе) или сводить его к фактам, доступным наблюдению.

§5. Две основные теоремы о непрерывных функциях

1.Теорема Больцано. Бернард Б о л ь ц а н о (1781–1848), католический священник, знаток схоластической философии, был одним из первых, кто ввел в математический анализ современное понятие строгости. Его замечательная книжка «Paradoxien des Unendlichen» появилась в 1850 г. Здесь впервые было признано, что многие казалось бы очевидные утверждения, касающиеся непрерывных функций, могут и должны быть доказаны, если имеется в виду применять их во всей их общности. Примером этого может служить следующая теорема о функциях одного переменного.

Непрерывная функция переменного x, положительная при некотором значении x и отрицательная при некотором другом значении x из замкнутого интервала непрерывности a 6 x 6 b, должна обращаться в нуль при некотором промежуточном значении x. Итак, если функция f(x) непрерывна при изменении x от a до b, и при этом f(a) < 0 и f(b) > 0, то существует такое значение a переменного x, что a < a < b и f(a) = 0.

Теорема Больцано прекрасно согласуется с нашим интуитивным представлением о непрерывной кривой, которая неизбежно должна пересечь в какой-нибудь точке ось x, чтобы перейти с одной ее стороны на другую.