Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

разрывна в точке x1 = 0, в которой она имеет значение −1. Если мы станем чертить карандашом график этой функции, нам придется в этой точке оторвать карандаш от бумаги. Когда мы приближаемся к значению x1 = 0 справа, то f(x) стремится к +1. Но значение это отличается от значения функции в самой этой точке, именно −1.

Одно то обстоятельство, что функция f(x) стремится к −1, когда x стремится к нулю слева, еще недостаточно для установления непрерывности.

Функция f(x), определенная для всех значений x с помощью формул

f(x) = 0 при x 6= 0, f(0) = 1,

при x1 = 0 имеет разрыв другого вида. Здесь существуют пределы и справа и слева, и они равны между собой, но это общее предельное значение отлично от f(0). Еще иного типа разрыв дается функцией, график которой

изображен на рис. 158,

u = f(x) = x12

312 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

в точке x = 0. Если мы заставим x стремиться к 0 с любой стороны, то u неизменно будет стремиться к бесконечности, но график функции «прерывается» в этой точке, причем малым изменениям независимого переменного x в окрестности точки x = 0 могут соответствовать очень большие изменения зависимого переменного u. Строго говоря, значение функции не определено при x = 0, поскольку мы не считаем бесконечность числом, и поэтому нельзя говорить, что функция f(x) равна бесконечности при x = 0. Итак, мы говорим только, что функция f(x) «стремится к бесконечности»,

Приведенные примеры показывают несколько различных типических случаев, когда функция перестает быть непрерывной в некоторой точке

x= x1.

1)Может случиться, что функция станет непрерывной в точке x = x1

ных выше примеров, и вместо f(0) = 1 положим f(0) = 0. Разрывы этого рода называются устранимыми.

2)Функция стремится к различным пределам в зависимости от того, справа или слева x приближается к x1, как на рис. 157.

3)Не существует предела ни с одной, ни с другой стороны, как на рис. 156.

4)Функция стремится к бесконечности, когда x приближается к x1 (рис. 158).

Разрывы трех последних типов называются существенными или неустранимыми, они не могут быть устранены с помощью надлежащего определения значения функции в одной лишь точке x = x1.

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ 313

инайдите точки разрыва.

2)Наметьте графики функций x sin 1x и x2 sin 1x ; проверьте, что непрерывность не нарушена в точке x = 0, если принять, что u = 0 при x = 0 в обоих случаях.

*3) Покажите, что функция arctg 1x имеет разрыв второго типа (скачок) при x = 0.

*6. Функции нескольких переменных. Вернемся к систематическому рассмотрению понятия функции. Если независимым переменным P является точка плоскости с координатами x, y и если каждой такой точке P соответствует единственное число u (например, u может быть расстоянием точки P от начала), тогда принято писать

u = f(x, y).

Это обозначение употребляется также и в том случае, если, как это часто бывает, две величины x и y явно указываются самими условиями задачи как независимые переменные. Например, давление u газа есть функция объема x и температуры y; площадь u треугольника есть функция u = = f(x, y, z) длин трех его сторон x, y, z.

Так же как график дает геометрическое представление функции одного переменного, можно получить и геометрическое представление функции u = f(x, y) двух переменных в виде поверхности в трехмерном пространстве с переменными x, y, u в качестве координат. Каждой точке x, y в плоскости x, y мы сопоставляем точку пространства с координатами x, y и u = = f(x, y). Таким образом, u = p1 − x2 − y2 представляется поверхностью сферы с уравнением u2 + x2 + y2 = 1, линейная функция u = ax + by + c — плоскостью, функция u = xy — гиперболическим параболоидом, и т. д.

Можно дать и другое представление функции u = f(x, y), притом не выходя за пределы плоскости x, y, именно с помощью линий уровня (горизонталей). Вместо того чтобы рассматривать трехмерный «ландшафт» поверхности u = f(x, y) в трехмерном пространстве, мы вычерчиваем, как это иногда делают на географических картах, «линии уровня» функции, являющиеся проекциями на плоскость x, y всех точек поверхности, находящихся на одном и том же расстоянии u по вертикали от плоскости x, y. Эти линии уровня имеют уравнения вида f(x, y) = c, где c постоянно для каждой кривой. Так, например, функция u = x + y характеризуется рис. 163. Линии уровня поверхности сферы представляют собой семейство концентрических окружностей. Функция u = x2 + y2, которой соответствует параболоид вращения, характеризуется также окружностями (рис. 165). Числами, отнесенными к каждой кривой, можно указывать высоту u = c.

Функции нескольких переменных встречаются в физике при описании движения непрерывной среды или каких угодно протяженных объектов. Рассмотрим хотя бы струну, натянутую между двумя точками на оси x и затем деформированную таким образом, что частица с координатой x отодвинута на некоторое определенное расстояние перпендикулярно к оси. Если струна будет отпущена, то она придет в движение, т. е. начнет колебаться; тогда точка (частица) струны с начальной координатой x в момент времени t будет находиться на расстоянии u = f(x, t) от оси x. Движение струны будет полностью определено, если только будет известна функция u = f(x, t).

*7. Функции и преобразования. Соответствие между точками некоторой прямой l, характеризуемыми координатой x на этой прямой, и точками некоторой другой прямой l′, характеризуемыми координатой x′, есть не что иное, как некоторая функция x′ = f(x). В случае взаимно однозначного соответствия имеем также и обратную функцию x = g(x′). Простейшим

§2. Пределы

1.Предел последовательности an . Определение непрерывности функции, как мы это уже видели в § 1, основывается на понятии предела. До сих пор мы пользовались этим понятием в более или менее интуитивной форме. В настоящем и последующих разделах мы введем его более систематическим путем. Поскольку последовательности несколько проще, чем функции непрерывного переменного, мы начнем с изучения последовательностей.

В главе II мы имели дело с числовыми последовательностями an и изучали их пределы при условии, что n неограниченно увеличивается или «стремится» к бесконечности. Например, последовательность с общим

Постараемся выразить точно, что под этим подразумевается. При продвижении по последовательности все дальше и дальше мы видим, что члены становятся все меньше и меньше. После 100-го члена члены уже

меньше 1001 , после 1000-го — меньше 10001 , и т. д. Ни один из членов не равен в действительности 0. Но если мы продвинемся достаточно

далеко по последовательности (1), то мы можем быть уверены, что каждый из ее членов будет отличаться от 0 сколь угодно мало.

В этом объяснении может смущать единственно то, что смысл подчеркнутых слов не вполне ясен. Что значит «достаточно далеко» и что значит «сколь угодно мало»? Если мы сумеем придать точный смысл этим выражениям, то этим самым будет установлен точный смысл понятия предела последовательности.

Геометрическая интерпретация поможет нам разобраться в интересующем нас вопросе. Если мы изобразим члены последовательности (1) в виде соответствующих им точек на числовой оси, то заметим, что члены последовательности в нашем примере «накопляются» или «сгущаются» около точки 0. Выберем на числовой оси некоторый интервал I с центром в точке 0 и общей длиной 2e, так чтобы интервал простирался на расстояние e с каждой стороны от точки 0. Если мы возьмем e = 10, то,

конечно, все члены an = n1 нашей последовательности будут лежать внутри интервала I. Если же мы возьмем e = 101 , то несколько первых членов

318 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

окажутся лежащими вне интервала I; однако все члены, начиная с a11, а именно

последовательности не попадет внутрь интервала I, тогда как бесконечное множество членов, начиная с a1001,

a1001, a1002, a1003, . . .

окажется внутри него. Ясно, что это рассуждение справедливо для любого положительного числа e: если положительное e выбрано, то независимо от того, как оно мало, мы всегда можем подобрать настолько большое целое

число N, что

N1 < e.

Отсюда следует, что все члены an последовательности, для которых n > N, будут лежать внутри интервала I, и только конечное число членов a1, a2, . . ., aN−1 может лежать вне его. Основные моменты здесь таковы: вопервых, длина интервала I определяется произвольно посредством выбора e. Затем может быть подобрано подходящее целое число N. Этот процесс первоначального выбора числа e и последующего подбора целого числа N может быть осуществлен при любом положительном e независимо от его малости; тем самым устанавливается точный смысл утверждения, что «все члены последовательности (1) отличаются от 0 сколь угодно мало, если только мы достаточно далеко продвинемся по последовательности».

Подведем итоги: пусть e — какое-нибудь положительное число. Тогда мы можем подобрать такое целое положительное число N, что все члены an последовательности (1), для которых n > N, будут лежать внутри интервала I длины 2e с центром в точке e. Таков смысл предельного соотношения (2).

Опираясь на этот пример, мы можем теперь дать точное определение следующего общего утверждения: «Последовательность действительных чисел a1, a2, a3, . . . имеет предел a». Число a мы заключаем внутрь некоторого интервала I числовой оси: если этот интервал мал, то некоторые числа an могут лежать вне этого интервала, но как только n становится достаточно большим, скажем, большим´ или равным некоторому числу N, то все числа an, для которых n > N, должны лежать внутри интервала I. Конечно, может случиться, что придется брать очень большое целое число N, если интервал I выбран очень малым; однако, как бы мал ни был этот интервал I, такое целое число N должно существовать, раз предполагается, что последовательность имеет предел.

Тот факт, что последовательность an имеет предел a, выражается символически следующей записью:

lim an = a при n → ∞, lim an = a,

n→∞

или просто

an → a при n → ∞

(«предел an равен a», или «an стремится к пределу a»). Если последовательность имеет предел в указанном смысле, она называется сходящейся. Определение сходимости последовательности an можно сформулировать более сжато, а именно следующим образом:

Последовательность a1, a2, a3, . . . имеет предел a при неограниченном возрастании n, если каждому сколь угодно малому положительному числу e можно поставить в соответствие такое целое положительное число N (зависящее от e), что неравенство

выполняется для всех значений

n > N.

Такова общая, «абстрактная» формулировка понятия предела последовательности. Немудрено, если тот, кто встречается с ней впервые, не может сразу схватить и исчерпать ее содержание. К несчастью, авторы некоторых руководств, стоящие на позиции, граничащей со снобизмом, преподносят читателю это определение без тщательной подготовки, как будто снизойти до разъяснений ниже достоинства математика.

Определение предполагает своего рода дискуссию между двумя лицами A и B. A выдвигает требование: заданная величина a должна быть приближена числами an так, чтобы ошибка не превышала границы e = e1; B отвечает на это требование указанием, что существует такое целое N = = N1, что все члены an, следующие за aN1 , удовлетворяют этому условию. Тогда A становится более требовательным и предлагает новую, меньшую границу e = e2; B снова встречает это требование подбором некоторого, может быть значительно большего, целого числа N = N2, обладающего аналогичным свойством, и т. д. Если B может удовлетворить A независимо от того, какую малую границу назначает A, то мы имеем дело с положением, которое кратко выражается соотношением: an → a.

Имеется определенная психологическая трудность в том, чтобы составить правильное представление о понятии предела. Наша интуиция предполагает «динамическую» идею предела как результат процесса «движения»: мы продвигаемся по ряду целых чисел 1, 2, 3, . . . , n, . . . и при этом наблюдаем за поведением последовательности an. Мы ждем, что числа an