25

1. Цель работы

Закрепить знания, продемонстрировать умения и навыки моделирования, определения оптимального решения и анализа его в задачах линейного программирования (ЛП) с применением обычного и двойственного симплекс-методов.

2. Описание задания

Варианты задания представляют собою описание конкретной ситуации, которую можно представить математической моделью в виде прямой задачи ЛП в сопряженной канонической форме:

В данной работе приведенная задача ЛП рассматривается как задача распределительного типа, т. е. задача, в которой требуется распределить ограниченные ресурсы для производства нескольких видов продукции. Тогда условия прямой задачи ЛП можно интерпретировать следующим образом. Для выпуска n видов продукции в количествах x₁, x₂,…, x_n используются m видов ресурсов, объемы потребления которых ограничены величинами b₁, b₂,…, b_m. Коэффициент c_j представляет собой прибыль, приходящуюся на единицу продукции j-го вида. Вследствие этого целевая функция f(x), представляющая собой суммарную прибыль, получаемую от реализации n видов продукции, подлежит максимизации. Расход i-го ресурса на единицу продукции j-го вида равен a_ij. Поэтому сумма представляющая собой общий объём i-го ресурса, затрачиваемого на производство n видов продукции, не может превышать величину b_i.

Требуется найти оптимальное решение задачи и провести исследование чувствительности решения при вариации параметров b_i, c_j, а также при изменении числа переменных x_j и числа ограничений. Исследования необходимы для ответа на вопросы, которые содержатся в описании каждого варианта. Результаты решения и анализа должны быть представлены в виде обоснованных выводов.

Выполнение работы должно происходить в следующем порядке:

1. Для каждого из пунктов задания (пункты а, б, в, г) составить математическую модель по описанию задачи.

2. Найти оптимальное решение задачи симплекс-методом (пункты а, в, г) или двойственным симплекс-методом (пункт б).

3. Проиллюстрировать решение геометрически (пункты а, б, в).

4. Провести анализ моделей на чувствительность (пункты а, б, в).

5. Сделать выводы по результатам выполнения всех пунктов задания.

6. Оформить результаты работы в пояснительной записке.

7. Защитить работу.

3. Варианты заданий Варианты 1.1-1.5

а) Фирма производит две модели книжных полок К₁ и К₂. Их производство ограничено наличием высококачественных досок А₁ и временем машинной обработки А₂. Для изготовления книжной полки j-й модели требуются a_1j, j=1,2 квадратных метров досок и a_2j, j=1,2 минут машинного времени. Фирма может в неделю получать от поставщика b₁ квадратных метров досок и использовать b₂ минут машинного времени. Книжная полка j-й модели приносит прибыль c_j, j=1,2 денежных единиц. Сколько полок каждой модели следует выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль? Спрос не ограничен.

б) Спрос на полки ограничен в неделю числом b. Как при этом изменится оптимальное решение?

в) Качество книжных полок можно улучшить, введя их дополнительную обработку А₃; на каждую полку j-й модели требуется a_3j, j=1,2 минут дополнительного времени, ресурс которого ограничен числом b₃ минут. Прибыль от реализации полок возрастает до величины c_jj=1,2. Имеет ли смысл вводить дополнительную обработку? Спрос не ограничен.

г) Фирма анализирует возможность выпуска третьей модели полок К₃, которая может принести прибыль c₃. Затраты ресурсов при этом составляют a₁₃ (м²) и a₂₃ (мин) на одну полку. Введение новой модели потребует переналадки оборудования, при этом изменяются a₂₁ на а₂₁ и a₂₂ на a₂₂′. Ресурсы b₁ и b₂ остаются прежними. Спрос не ограничен.

Определите, какой из вариантов а, в, или г наиболее выгоден для фирмы в смысле максимума прибыли?

1.1

	K1	K2	K3	bi
A1	3	4	3	1800
A2	12	30	20	9600
A3	3,5	6	-	2100
cj	2	4	3
cj	2,2	4,5	-

b=450 a₂₁=16 a₂₂=32

1.2

	K1	K2	K3	bi
A1	2	3	5	1500
A2	10	25	18	9000
A3	3	4	-	2000
cj	2	3,5	4,5
cj	3	6	-

b=400 a₂₁=14 a₂₂=30

1.3

	K1	K2	K3	bi
A1	3,2	4	3	2400
A2	9	18	15	8100
A3	5	7	-	3500
cj	2	3,5	4
cj	2,2	3,8	-

b=600 a₂₁=10 a₂₂=20

1.4

	K1	K2	K3	bi
A1	7,5	7,5	5	5625
A2	4,5	9	10	4050
A3	5	7	-	3500
cj	2	3,5	4
cj	2,2	3,8	-

b=700 a₂₁=5 a₂₂=10

1.5

	K1	K2	K3	bi
A1	4	3	5	3000
A2	5	15	15	7500
A3	5	5	-	3000
cj	2,5	4	5
cj	3	5	-

b=700 a₂₁=12 a₂₂=18