Декартовое произведение множества r2 и r3
Декартово произведение множеств
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ [Cartesian product] — множество А × В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a принадлежит множеству A, b — множеству B. Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре (векторе, кортеже) определяется порядком следования перемножаемых элементов. Поэтому A × B ≠ B × A, если B ≠ A.
Если обобщить сказанное на любое количество множеств A1, A2, ..., An, то Д. п. записывается так:
Если перемножаются одинаковые множества, используется обозначение степени: An = A × A × A ×...× A
при n сомножителях. См.в Стойловой
Стандартные множества. Операции над множествами
Понятие множества
Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A , B , C , N , ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a , b , c , n , ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
− множество целых чисел;
− множество рациональных чисел;
− множество иррациональных чисел;
− множество действительных чисел;
− множество комплексных чисел.
Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a A .
Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Если A есть пустое множество, то пишут: A =
Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A B .
Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел Из определения непосредственно следует, что A A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.
Если A B , а B A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.
Операции над множествами
Рассматривая такой тип данных, как множества узлов, мы отмечали ограниченность операций, которые можно с ними производить. В частности, XSLT не предоставляет стандартных операторов для определения принадлежности одного множества другому, нахождения пересечений, разности множеств и так далее. Возможности, которые были представлены при описании этого типа данных, основанные на использовании оператора равенства на самом деле реализуют далеко не математические операции над множествами.
В этом разделе мы рассмотрим иной подход к реализации операций над множествами, основанный на очень простом определении принадлежности узла множеству. Узел node принадлежит множеству nodeset тогда и только тогда, когда выполняется равенство
count($nodeset) = count($node | $nodeset)
Учитывая это обстоятельство операции над множествами можно представить, как показано в табл. 11.1. Результирующее множество выделено штриховкой.
Таблица 11.1. Операции над множествами
Объединение
пересечение
Разность
