- •1. Первообразная и ее свойства
- •3. Таблица интегралов.
- •2.Неопределенный интеграл и его свойства
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле
- •5. Интегрирование по частям в не опред. Интеграле
- •6. Интегрирование выраж содержащ квадратный трехчлен
- •7.Интегрирование простых правильных дробей
- •9.Интегрирование некоторых классов иррац функций
- •10.Интегрирование тригонометрических выражений
- •11. Определение определенного интеграла и его св-ва
- •12. Интеграл с переменным верхним пределом;производная по верхнему пределу
- •13.Формула Ньютона-Лейбница
- •14.Замена переменной в определенном интеграле
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрир от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19. Диффер уравн: опред, решение уравн, задача Коши, общ и частн решения, геом смысл решений
- •20.Диффер уравнен первого порядка с разделенными и разделяющ переменными
- •21.Лин диффер уравнения 1го порядка(методы Бернулли и Лагранжа, их решения)
- •22.Лин диффер уравн 2го порядка с пост коэфф, структура их общ решения
- •23. Структура решения лин неоднор дифф уравн 2го порядка
- •24.Нахождение частных реш лин неоднор диффер уравн 2го порядка с пост коэфф по виду правой части
- •25. Числовой ряд и его сумма; сход и расход ряды
- •26. Геометрический и гармонический ряды
- •27. Необходимые условия сходимости ряда
- •28.Полож ряды; признаки сравнен их сходимости
- •29.Предельный признак Даламбера
- •30.Предельный признак Коши
- •31.Интегральный признак Маклорена-Коши
- •32.Знакоперемен ряды, абсол и условная сходимости
- •33.Теорема Коши об абсол сход знакоперем ряда
- •34.Признак Лейбница знакочеред рядов
- •35.Теорема Абеля сходимости степенного ряда
- •36.Радиус сходим степенного ряда и его нахождение
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена
- •39.Разложение в ряд Маклорена ф-ции cos X, sin X
5. Интегрирование по частям в не опред. Интеграле
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
,
где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции.
Применение её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. В некоторых случаях формулу необходимо применять несколько раз.
При этом за u(x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv -та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например,
для интегралов вида , ,
за u(x) следует принять многочлен P(x) .
Для интегралов вида , ,
за u(x) принимаются функции lnx, arcsinx, arctgx, а за dv - выражение P(x)dx .
Т.е.
Доказательство.
Пусть F1(x) и F2(x) соответственно некоторые первообразные для и .
Тогда по определению первообразной и правилу дифференцирования произведения двух функций + = , .
Следовательно, по следствию из теоремы Лагранжа:
F1(x) + F2(x) = + c, где c – некоторая константа, или F1(x) = - F2(x).
Так как
из данного равенства следует, что
Замечание: Формулу интегрирования по частям следует понимать так: множество функций {F1(x) + C1}, стоящих в левой части равенства, совпадает со множеством функций { -F2(x) + c3}, стоящих в правой части, где с3 = с – с2, а с1 и с2 – произвольные числа.
6. Интегрирование выраж содержащ квадратный трехчлен
1°. Интеграл вида
путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле
сводится к одному из двух интегралов
где u = х + k.
2°. Интеграл
сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу
3°. Интеграл
сводится к одному из интегралов:
4°. Интеграл вида
сводится к одному из двух интегралов
5°. Интеграл вида
сводится к разобранным выше интегралам.
7.Интегрирование простых правильных дробей
Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.
Любую неправильную дробь можно представить в виде:
,где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение . Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1. ;
2. , где к -целое число, больше единицы
3. , где , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней
4.
Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :
8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
Рациональной называется функция вида
где m,n-целые, положительные числа. Если m<n,то R(x) называется правильной дробью, если m n ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l<n.
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей.
Теорема. Правильную рациональную дробь где можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
- (6)
(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x)и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn(x).
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.