29.Предельный признак Даламбера
Пусть
в случае строго положительного ряда
существует предел
.
(29) Тогда при
ряд сходится; при
ряд расходится;
при
ряд может как сходиться , так и расходиться
(признак ответа не даёт).
Доказательство. Условие (29) по определению предела последовательности означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства
.
Действительно, в этом случае в силу
произвольности числа
его можно выбрать таким, чтобы выполнялось
неравенство
( за положительное число
можно взять любое число, меньшее чем
).
Следовательно, по теореме 5 ряд сходится.
Если
,
то, взяв
,
получим, что
.
Тогда для
будет выполнено неравенство
ряд расходится.
Покажем,
что при
ряд может как сходиться, так и расходиться.
Приведём по этому случаю примеры. Так,
для гармонического ряда
имеем, что
.Рассмотрим
теперь ряд с общим членом
.
И в этом случае
:
.Но
гармонический ряд расходится, а ряд
сходится.
Признак
Даламбера целесообразно применять,
когда общий член ряда содержит выражения
видов
,
.
30.Предельный признак Коши
Пусть для положительного ряда (22) существует предел
.
(32)Тогда при
ряд сходится;
при
ряд расходится; при
возможны как сходимость, так и расходимость
ряда.
Доказательство. На основании определения предела последовательности условие (32) означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства
.
надо установить, что
и
.Вычислим
только первый из этих пределов, так как
второй получится из первого на основании
равенства
.
Для вычисления первого предела
(неопределённость вида
)
рассмотрим выражение
с непрерывной переменной
.
Прологарифмируем это выражение и
докажем, что
.
Действительно,
.
Для вычисления последнего предела
(неопределённость
)
применим правило Лопиталя:
.
Так
как
,
то
.
Теорема доказана.
31.Интегральный признак Маклорена-Коши
Пусть
заданная на промежутке
функция f(x)
непрерывна, неотрицательна и не
возрастает. Пусть положительный числовой
ряд имеет форму
,
(34)т.е. члены ряда удовлетворяют условию
.
Тогда для сходимости ряда (1.34) необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл
.
(35)Доказательство.
В силу монотонности функции
на любом отрезке
справедливы неравенства
.
Так
как
,
– постоянные числа и
,
то, интегрируя эти неравенства по
отрезку
,
из свойств неопределённого интеграла
получим
.
(36)Неравенства (36) позволяют обратиться
к признаку сравнения (теорема 3) для
следующих рядов:
(37)
,
(38)
.
(39)
Рассмотрим ряд (39). Его n-й частичной суммой будет
.Так
как
,
сходимость ряда (39) означает сходимость
несобственного интеграла (35).
Если
ряд (37) сходится, то по признаку сравнения
рядов в силу первого неравенства из
(36)
будет сходиться ряд (39) и, следовательно,
несобственный интеграл (35). Первая часть
теоремы доказана, т.е. установлено
необходимое условие сходимости.
Пусть
сходится несобственный интеграл (35). В
силу ранее отмеченного будет сходиться
и ряд (39), общий член которого имеет вид
.
Тогда на основании признака сравнения
рядов в силу второго из (36) неравенства
будет сходиться ряд с меньшими членами,
т.е. ряд (38). Поскольку ряд (37) отличается
от ряда (38) только первым членом
,
то на основании замечания 4 будет
сходиться и ряд (37), т.е. исходный ряд
(34). Достаточное условие установлено.
Теорема доказана.
Теорема 8 означает, что ряд (34) и несобственный интеграл (35) одновременно сходятся или расходятся.