4. Определение скорости и ускорения поршня с помощью производных

В двигателях внутреннего сгорания процессы наполнения, сжатия, сгорания и выпуска отработавших газов являются неустановившимися и протекают за короткое время. Например, процесс сгорания топлива в цилиндре быстроходного двигателя протекает за время менее 0,002 с. Давление газов в цилиндре и его температура изменяются во времени. Скорость изменения любого процесса во времени можно оценить при помощи производной.

Для понятия производной рассмотрим движение толкателя 2 при вращении вала без кулачка и с кулачком (рис. 4.1). Толкатель применяют, например, для перемещения (открытия и закрытия) клапана механизма газораспределения двигателя.

а) б)

Рис. 4.1. Механизмы привода толкателя

Из анализа рис. 4.1, а следует, что при вращении вала 1 путь толкателя 2 и его скорость будут равны нулю (наружная поверхность вала симметрична относительно оси вращения). Толкатель неподвижен даже при вращении вала, и производная постоянного числа будет равна нулю. На рис. 4.1, б показан вал 1, выполненный с кулачком. При вращении вала кулачок приводит в поступательное движение толкатель, изменяя его путь с учетом профиля. При этом изменяется и скорость толкателя 2. Скорость толкателя является первой производной пути по времени. В зоне вала, где нет кулачка, путь не изменяется, скорость толкателя и «производная» равны нулю.

В гл. 1 настоящего пособия было дано понятие производной функции в точке. Напомним его применительно к рассматриваемой ситуации. Итак, производной функции в точке х_о называется предел отношения приращения функции (например, перемещения

толкателя) к приращению аргумента (например, углу поворота вала или времени) . При этом значение стремится к величине х_о, а приращение аргумента стремится к нулю (очень малой величине), но не достигает значения, равного нулю.

Физический смысл производной – это скорость изменения процесса, а геометрический – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке к оси Ох (гл. 1). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета (например, приращения функции) к прилежащему (например, приращению аргумента).

4.1. Определение пути поршня

Центральным кривошипным шатунным механизмом (КШМ) называется механизм, у которого ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала. При помощи этого механизма давление газов в цилиндре двигателя передается на площадь поршня и его поступательное движение преобразуется во вращательное движение коленчатого вала (рис. 4.2). Работа газов (Дж) равна произведению давления в цилиндре (Н/м²) на изменение объема (м³).

И зменение направления движения поршня в цилиндре происходит в верхней и нижней мертвых точках. В мертвых точках скорость поршня равняется нулю, а ускорение достигает максимальной величины.

Отрезок ОВ является радиусом R кривошипа, равен длине шатуна L, а j - угол поворота коленчатого вала (см. рис. 4.2).

Верхней мертвой точкой (ВМТ) называют крайнее положение поршня, при котором он максимально удален от оси коленчатого вала (точка А).

Н

Рис. 4.2. Схема кривошипно- шатунного механизма

ижней мертвой точкой (НМТ) называют крайнее положение поршня в цилиндре, при котором он минимально удалён от оси коленчатого вала (точка ).

Ходом поршня называется расстояние по оси цилиндра между мертвыми точками. По величине полный ход поршня равен двум радиусам кривошипа .

Величина  это угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра. Значение  это отношение радиуса кривошипа к длине шатуна (конструктивный параметр двигателя). Для современных двигателей величина может находиться в пределах 1/3 − 1/4.

Зависимость между углом поворота коленчатого вала (град) и соответствующим ему временем t (с) выражается формулой

, (4.1)

где ω  угловая скорость вращения коленчатого вала, ; n  частота вращения коленчатого вала, мин^-1.

Определим зависимость перемещения поршня от угла поворота коленчатого вала. Принимаем за исходное положение КШМ такое, при котором поршень находится в ВМТ (см. рис. 4.2 точка А).

, тогда

. (4.2)

Вынесем значение R за скобку

.

Заменяя далее , получим

. (4.3)

Значение выражения для различных и даны в приложении [31].

Путь поршня может быть определен графическим способом. Для этого вычерчивают в определенном масштабе (например, 1:1) КШМ при положении кривошипа и шатуна на оси цилиндра. Поворачивают кривошип на угол, соответствующий 10⁰, вычерчивают КШМ в новом положении и определяют путь, пройденный поршнем. Затем кривошип поворачивают ещё на 10⁰ (до 360⁰) и во всех точках определяют путь поршня. Строят график зависимости пути поршня от угла поворота коленчатого вала, который необходим для определения давления в цилиндре в координатах P-V и перестроения индикаторной диаграммы в координаты Р- .