21.Точка перегиба. Достаточное и необходимое условия

Определение точки перегиба

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. В окрестности такой точки x₀ график функции y = f (x) слева и справа от точки x₀ имеет разные направления выпуклости. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой - над нею. В окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной сторон касательной на другую и "перегибается" через нее. Отсюда и произошло название "точка перегиба".

Необходимое условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x₀, f(x₀)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x₀) = 0. Доказательство. Предположим обратное, пусть f "(x₀) ≠ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки x₀, в которой f ″(x) < 0 (f "(x) > 0), и, значит график функции y = f (x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(x₀; f (x₀ )). Полученное противоречие доказывает теорему. Не всякая точка М (x₀, f (x₀)), для которой f " (x₀) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции y = f(x) = x⁴ не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f " (х) = 12·x ² = 0 при х = 0. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (x₀; f (x₀)) графика, для которых f "(x₀) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x₀ интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х₀, а график функции имеет касательную в точке С = (х₀, f (x₀)). Если при переходе через точку х₀ вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x). Доказательство. Из того, что f "(x) слева и справа от точки x₀ имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x₀ является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M(x₀; f (x₀)).

22.понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функций одной переменной (без док) , формула Маклорена

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ (26.1)

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁ ,..., А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+...+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n''(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+...+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,

Р_n"'(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+...+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)...2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем: