3 Методические указания к выполнению расчетов

При выполнении п.1 задания рекомендуется придерживаться следующей последовательности расчетов:

1) получить формулу для расчета освещенности Е торца приемного световода 3;

2) выбрать начало отсчета по оси x. За начало отсчета необходимо выбрать такую точку x, при которой происходит “касание” краем шторки приемного торца световода 3;

3) выбрать конечные значения x_k перемещения шторки. За конечные значения следует принять такое, при котором световой поток, поступающий на приемную площадку, будет полностью перекрываться или полностью освещать приемную площадку (в зависимости от варианта);

4) получить функцию изменения площади освещаемого приемного торца от произвольного значения перемещения x.

Световой поток Ф, падающий на произвольную площадку площадью S по нормали к ее поверхности, определяется из соотношения Ф=E^.S, где E — освещенность площадки. Поток на выходе световода 2 условно принимается равным Ф₀ и распространяется далее в виде конуса. Угол  носит название угла рассеивания, значение которого задано в таблице 2. Для того, чтобы определить долю света, падающего в световод 3, необходимо рассчитать освещенность Е на его входном торце и площадь перекрытой шторкой поверхности световода S.

Расчет освещенности производится из условия сохранения светового потока при распространении в пустом изотропном пространстве, где отсутствует поглощение и рассеяние света. Это означает, что на любом расстоянии a от источника площадью S₀ через сечение S₁ проходит тот же поток Ф₀ (рисунок 3.2). В результате освещенность светового пятна S₁ равна

. (3.1)

Она зависит только от площади светового пятна S₁. Последнее определяется для каждого конкретного случая в отдельности геометрическим путем, исходя из формы S₀, угла  и расстояния а.

Площадь перекрытия шторкой входного торца приемного световода изменяется от нуля (положение 1) до S₂ (положение 2) для вариантов 1–12 либо от S₂ (положение 2) до нуля (положение 1) для вариантов 13–24.

При выполнении п.2 необходимо разработать алгоритм, который позволял бы с помощью вычислительной техники рассчитать значения передаточной функции Ф(x). При этом весь диапазон изменения x необходимо разбить на 15–20 интервалов и для каждого текущего значения x вычислить значения Ф(x). Программа может быть написана на любом алгоритмическом языке высокого уровня и реализована на вычислительной технике. По результатам расчета требуется построить график передаточной функции Ф(x).

Выполнение п.3 предполагает проведение вычислительного эксперимента. При проведении вычислительного эксперимента предполагается, что один из параметров полученной модели является случайной величиной с заданным законом распределения (равномерным или нормальным).

В первом случае плотность распределения данного параметра

, (3.2)

где (t₁;t₂) — интервал возможных значений t.

Рисунок 3.1 – Схема расчета освещенности

Рисунок 3.2 – Схема, поясняющая выбор начального x₀ и конечного x_k значений перемещения

Математическое ожидание в этом случае составляет

, (3.3)

а среднеквадратическое отклонение -

. (3.4)

По заданным для равномерного закона распределения плотности вероятностей m_t и s_t можно определить границы интервала (t₁;t₂), в котором изменяются значения случайного параметра t. Это можно сделать путем решения системы уравнений:

(3.5)

Для нормального закона соответственно:

. (3.6)

В этом случае заданные вероятностные характеристики m_t и s_t определяют форму кривой распределения плотности вероятностей.

Разрабатываемая программа обязательно должна содержать датчик случайных чисел, генерирующий соответствующие случайные значения.

В большинстве алгоритмических языков высокого уровня содержатся стандартные функции — датчики случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1).

Для получения равномерно распределенного числа в интервале (t₁;t₂) используют масштабирующее соотношение в виде:

, (3.7)

где z_i — случайное число, равномерно распределенное в интервале (0;1).

Построение на основе стандартного датчика нормальных случайных чисел с m_t=0 и _t=1 осуществляется с помощью одного из соотношений:

(3.8)

(3.9)

где z_1,i, z_2,i — случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале (0;1).

. (3.10)

В целом алгоритм реализации численного эксперимента включает:

1) задание фиксированной точки диапазона x;

2) многократное обращение к датчику случайных чисел и накопление таким образом выборки случайных значений, распределенных в соответствии с заданным законом;

3) масштабирование полученного стандартного случайного числа исходя из заданных вероятностных характеристик;

4) расчет на основе полученной зависимости Ф(x) выборки значений Ф(x_i) при фиксированном x и наборе значений случайного параметра;

5) расчет среднего значения и дисперсии выборки.

По результатам расчета необходимо построить зависимости среднего значения и дисперсии выборки от перемещения.