1. Пространство элементарных событий . Алгебра событий. Случайные события.

Событием ТВ наз. Результат опыта, наблюдения, эксперимента…

Случ. событие – событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

Для каждого опыта мождно указать некоторую совокупность событий. Причем в результате опыта должно осуществиться какое-нибудь из них. Такое множество наз. Пространство элементарн. событий.

, где - простр. элементарн. событий, - элементарное событие.

События:

1)достоверное(событие, к. в р-те опыта обязательно произойдёт)

2)невозможное(при проведении опыта заведомо не произойдёт)

3)случайное(в р-те опыта м. произойти, а м. и не произойти)

Над событиями проводят следующие действия:

1. (А влечёт за собой событие В, событие В происходит когда происходит событие А)

2. А=В ( , )

3. Суммой А и В наз событие А+В и состоит в том, что произошло или событие А или событие В или оба вместе

4. Произведением А и В называется событие А*В и состоит в том, что событие А и В произойдёт одновременно

5. Противоположными событию А называется событие и состоитв том что А не произойдёт

Закон больших чисел

Наблюдая массовые однородные случайные явления можно обнаружить в них своеобразные закономерности определенного типа устойчивости (например: при большом числе опытов относительная частота этого события приближается к его вероятности). Этот пример представляет собой частный случай закона больших чисел.

При очень большом числе случайных явлений средний их результат престает быть случайным и может быть предсказан. В узком смысле понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения большого числа опытов к опред. СВ.

Неравенство Чебышева

Для любой СВ х и любого ξ>0 справедливо неравенство Чебышева №1:

Интервальные оценки параметров распределения Доверительная вероятность Доверительный интервал

Интервальное оценивание — один из видов статистического оценивания, предполагающий построение интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Определение:

Пусть - неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа 1 и 2 такие чтобы выполнялось неравенство:

Интервал является доверительным интервалом для параметра 0, а число - доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1 (0.95, 0.99 или 0.999).

Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.

Определение:

Пусть X1..Xn- выборка из некоторого распределения с плотностью , зависящей от параметра 0 , который может изменяться в интервале . Пусть - некоторая статистика и - функция распределения случайной величины , когда выборка имеет распределение с плотностью . Предположим, что есть убывающая функция от параметра . Обозначим квантиль распределения , тогда есть возрастающая функция от . Зафиксируем близкое к нулю положительное число (например, 0,05 или 0,01). Пусть . При каждом 0 неравенства (1)

выполняются с вероятностью -1 , близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде: (2)

Обозначим , и запишем (2) в следующем виде:

Интервал называется доверительным интервалом для параметра 0, а вероятность - доверительной вероятностью.

Уровень значимости статистического теста — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (ложноположительного решения, false positive), то есть вероятность отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна.

В стандартной методике проверки статистических гипотез уровень значимости фиксируется заранее, до того, как становится известной выборка .

Чрезмерное уменьшение уровня значимости может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода, то есть вероятности принять нулевую гипотезу, когда на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода связана с мощностью критерия простым соотношением . Выбор уровня значимости требует компромисса между значимостью и мощностью или (что то же самое, но другими словами) между вероятностями ошибок первого и второго рода.

Обычно рекомендуется выбирать уровень значимости из априорных соображений. Однако на практике не вполне ясно, какими именно соображениями надо руководствоваться, и выбор часто сводится к назначению одного из популярных вариантов . В докомпьютерную эпоху эта стандартизация позволяла сократить объём справочных статистических таблиц. Теперь нет никаких специальных причин для выбора именно этих значений.

22