1.Теорема сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В);
Д-во: Пусть mа и mв – число исходов, благоприятствующих событиям А и В соответственно, n – число всех исходов, тогда Р(А+В)=(mа+mв)/n=mа/n+mв/n=Р(А)+Р(В).Т.Д.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=P(А1)+P(А2)+…+ P(Аn);
Если А1,А2,…, Аn – несовместны и образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1, т.к. хотя бы одно событие из этой группы произойдёт.
p+q=1 (q = 1-p)
Теор (вероятность суммы совместных событий): вероятность суммы 2-ч совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного появления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Для 3х событий: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В) +Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)
2.Дисперсия св, её свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией СВ называют МО квадрата отклонения СВ от своего математического ожидания и обозначают D(х)=М[x-M(x)]2
M(x-M(x))=M(x)-M(M(x)){=M(x)}=M(x)-M(x)=0
D(x)=M[x2-2x∙M(x)+M2(x)]=M(x2)-2M2(x)+M2(x)=M(x2)-M2(x)
D(x)= M(x2)-M2(x)
D(x)=-∞∫∞(x-mx)2∙f(x)dx – для непрерывных
Св-ва дисперсии:
1) D(c)=0 (по определению)
2)D(cx)=c2D(x)
Док-во:
D(cx)=M[cx-M(cx)]2=c2M[x-M(x)]2=c2D(x), ч.т.д.
3)D(x+y)=D(x)+D(y), где x и y –независимые СВ
док-во:
D(x+y)=M[(x+y)2]-M2(x+y)=M(x2)+M(y)2+2M(xy)-(M(x)+M(y))2=D(x)+D(y)
аналогично для 3-х и т.д. величин
Следствия:
1)D(c+x)=D(x)
док-во: D(c+x)=D(c)+D(x)=0+D(x)=D(x)
2)D(x-y)=D(x)+D(-y)=D(x)+(-1)2D(y)=D(x)+D(y)
Механическая интерпретация D(x):
Момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (М(х)); размерность = размерности СВ Х
Дисперсия в n независимых испытаниях
D(x)=npq
p – вероятность появления
q –вероятность непоявления
Док-во:
X=X1+X2+…+Xn p1=p2=…=pn=p
D(x)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
D(x1)=M(x12)-M2(x1)
M(x1)=1∙p
M(x12)=12∙p+0∙q=p
D(x1)=p-p2=p(1-p)=pq
Для n независимых СВ D(x)=npq, ч.т.д.
3.Числовые характеристики выборки.
Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичных тем, что в теории вероятности определялись для случайных величин.
Выборочным
средним
называется
среднее арифметическое всех значений
выборки:
1
Выборочное
среднее можно записать и так
2
Отметим,
что в случае интервального статистического
ряда в равенстве в качестве хi берут
середины интервалов, а ni - соответствующие
им частоты.
2. Выборочной
дисперсией
Dв называется среднее арифметическое
квадратов отклонений значений выборки
от выборочной средней
,
т.е.
3
Или то же самое
4
Можно
показать, что дисперсия может быть
посчитана по формуле:
5
Здесь
6
Выборочное
среднее квадратическое отклонение
выборки определяется формулой
7
Особенность
выборочного СКО состоит в том, что оно
измеряется в тех же единицах. Что и
изучаемый признак.
3. При решении
практических задач помимо использования
формул для расчета выборочной дисперсии
используется величина, которая называется
исправленной выборочной дисперсией.
Дело в том, что значение выборочной
дисперсии дает заниженные значения по
отношению к действительной дисперсии,
поэтому при малых выборках (n < 30)
необходимо применять исправленную
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.
Эти значения находятся
по формулам 8-9
В
качестве описательных характеристик
вариационного ряда используется медиана,
мода и размах.
Размахом вариации называется число R = xmax – xmin, где 10
Xmax - наибольший из вариант, Xmin - наименьший из вариант.
Модой М0* вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.
Медианой Ме* вариационного ряда называется значение признака, приходящегося на середину ряда.
Если
объем выборки n – четное число, то
11
Если
объем выборки нечетное число, то
Билет 10