Теорема.

Расстояние от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между параллельными прямыми

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной из них до точек другой: AB < MN

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями:

Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями:

4. Угол между прямыми на плоскости. Вывод условий перпендикулярности и параллельности, прямых на плоскости.

Угол между прямыми на плоскости

            Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА,  В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.

 Перпендикулярные прямые

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями   и   будут перпендикулярны, если выполнено условие  . Эти же прямые будут перпендикулярны, если  . (Здесь   — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ:  , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

            Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

            Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.