- •Понятие вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение на число. Линейные свойства векторов. Примеры.
- •Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Примеры.
- •Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.
- •Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на эту ось
- •Скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Теорема.
- •Угол между прямыми на плоскости. Вывод условий перпендикулярности и параллельности, прямых на плоскости.
Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.
Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.
Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.
Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через А1 и b 1проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим вектор А1В1
Проекцией вектора АВ на ось l называет ся положительное число |A 1B 1 | , если вектор А 1В 1 и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A 1B 1 | , если вектор А 1В1 и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a 1и b 1совпадают (А 1В 1 =0), то проекция вектора АВ равна 0.
Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: прlАВ. Если АВ=0 или АВl , то прl АВ=0.
Угол между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на эту ось
Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки ( , , ) и ( , , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .
Формула
позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длиныданного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского
Нетрудно доказать (на лекции доказано), что для любых векторов , и и любого действительного числа справедливы следующие равенства:
при , и тогда и только тогда, когда , — нулевой вектор.
Справедливо следующее неравенство (неравенство Коши-Буняковского):
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Направляющие косинусы вектора. Направляющие косинусы единичного вектора.
Направляющие косинусы вектора.
Пусть дан вектор ( х, у, z).
Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу и Oz соответственно буквами , и . Три числа cos , cos и cos принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая = (1; 0; 0) получаем из (9)
Аналогично
Из формул (11) - (13) следует:
1) сos2 + cos2 + cos2 = 1,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;
т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.
Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,
Пример. Найти направляющие косинусы вектора (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем
Векторное произведение: определение и свойства. Площадь параллелограмма и треугольника. Выражение векторного произведения через координаты
Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве.
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) ki, kj;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
7. Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда.
Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается или ( , , ).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .