- •Понятие вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение на число. Линейные свойства векторов. Примеры.
- •Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Примеры.
- •Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.
- •Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на эту ось
- •Скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Теорема.
- •Угол между прямыми на плоскости. Вывод условий перпендикулярности и параллельности, прямых на плоскости.
Векторная алгебра
Понятие вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение на число. Линейные свойства векторов. Примеры.
Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.
Сложение векторов
Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.
Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .
Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .
Приложим вектор к другой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим .
Рассмотрим направленные отрезки и . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку — параллелограмм.
Умножение на число
Произведением вектора на число называется вектор, который:
коллинеарен вектору ;
сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;
длины связаны следующим соотношением: .
Данное определение согласовано с определением сложения:
для любого натурального .
Свойства линейных операций
Сложение векторов коммутативно: .
Сложение векторов ассоциативно: .
Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: . Очевидно, .
Для любого вектора существует вектор такой, что или .
Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: .
Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков и , в каждом случае утверждение очевидно.
Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Это следует из подобия треугольников и на рисунке.
Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .
Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Примеры.
Если и — два неколлинеарных вектора в плоскости, а — произвольный вектор в той же плоскости, то всегда существуют такие числа и , что . В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам и .
Если и — неколлинеарные единичные векторы (т. е. вектора, модуль которых равен единице) , то произвольный вектор плоскости может быть представлен в виде . В этом случае говорят, что вектор имеет в системе и координаты .
Если векторы и взаимно перпендикулярны, причем вектор может быть получен из вектора поворотом против часовой стрелки, то говорят, что прямые, в которых лежат и , образуют декартову прямоугольную систему координат, а числа называются декартовыми координатами вектора .
Пусть точка с координатами — начало вектора , а точка с координатами — его конец. Тогда координаты вектора связаны с координатами точек и формулами: , , т. е. декартовы координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и его начала.
Декартовы координаты вектора являются проекциями этого вектора на соответственные оси систем координат: , .
Пусть вектор имеет координаты , что записывается в виде , а вектор — , или .
Тогда:
,
,
,
,
т. е. действиям с векторами отвечают идентичные действия с их координатами.
Модуль вектора определяется через его декартовы координаты посредством равенства: , а единичный вектор , имеющий с вектором одинаковое направление, записывается в виде и имеет координаты: .