33. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Решением линейное неоднородного уравнение y`+p(х)у=q(x) (7) Решение будем искать в виде: у=C(x) (8)

Где C(x)- неизвестная функция подставляя (8) и (7), имеем: С (х) +С(х) +С(х)р(х) =q(x)

С(х) =0

Значит, С (х) =q(x) = C(x)= dx+C

Подставляя найденное С(х) в (8), получим формулу Бернулли y=C + dx

Описанный метод решения уравнения (7) наз. методом вариации произвольной постоянной или методом методом Лагранжа. Др. методом решения линейного уравнения явл метод Бернулли , кот. заключается в след.:

Решение уравнения(7) ищем в виде y=uv, где u(x) и v(x)- непрерывно дифференцинцируемые на I функции, причём u(x) 0, v(x) 0.

После подстановки y в (7) и учитывая, что = u +v

Получим u +v +p(x)uv=q(x)(9)

Потребуем, чтобы v( +p(x)u)=0 , будем иметь

+p(x)u=0 (10)

Или = p(x)dx. Подставляя частное решение этого уравнения u= в (9), с учётом (10) получим dv= q(x)dx, а v=

+C. Окончательно, y=

Уравнением Бернулли наз. нелинейноедиф. Уравнение первого порядка вида: y`+p(x)y=q(x) (11)

Где α(α α 1) – произвольное вещественное число подстановка u= приводит уравнение (11) к линейному неоднородному уравнению. Уравнение(11) можно решать также подстановкой y(x)=u(x)v(x). Тогда, записав уравнение(11) в виде u`v+(v`+p(x)v)u=q(x) , решим два уравнения с разделяющимися переменными: v`+p(x)v=0(берём только 1 решение v 0) и u`=q(x) (берём его общее решение)

Подставляя найденные u и v в соотношение y(x)=u(x)v(x), получим общее решение уравнения Бернулли.

Уравнение вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(12) наз уравнением в полных дивверенциалах, если его левая часть явл полным дифференциалом некоторой функции u ,т.е.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)(13)

34.Диф ур-ния высших порядков.Метод Эйлера.

Диф.урав n-ого порядканаз.урав.вида f(х, y, y…’, )=0.Решением такого урав.служит всякая,

n раз непрерывно диф.ф-ция y= (х),опред.на некатором интервале(а,b) и обращ.данное урав.втождество.Урав.Ф(х,y,С1,С2…С )=0 определяющ. Общее решение как неявную ф-цию,наз.общим интегралом диф.урав.Линейным однород.урав.n-ого порядка с постоян.коэфиц. наз. урав +а1 +а2 +…+ y’+ y=0

y= , +а1 +…+ ԓ+ =0 это урав.наз. характеристическим . Решен.однородного диф.урав.

свелось к решен.алгебраич. урав.,этот м-д наз.м-дом Эйера.

35. Метод Эйлера решения диф.Ур.

Пусть λ1, λ2, λ3,…, λn –корни ур-ния λⁿ+a₁ λ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n=0 (3),причем среди них могут быть и кратные(повторяющиеся).Возм.след.случаи:

1) λ1, λ2, λ3,…, λn-вещественные и различные.Тогда фундаментальная система реш. ур-нияy⁽ⁿ⁾+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+…+a_n-1y`+a_ny=0 (1) имеет вид: е^λ1х, е^λ2х, …, е^λnх (4),а общ.решениемэт.ур-ния будет: Ў=С1е^λ1х+С2 е^λ2х+…+С_nе^λnх. где С1,С2,…,Сn-произвольные постоянные.

2) Корни характеристического ур-ния вещественные, но среди них есть кратные.Пусть,например, λ1=λ2=…= λк, т.е. λ1 явл. к-кратным корнем ур-ния (3),а все ост. (n-k) корней различные.Фундаментальнаясист. решений ур-ния (1)в эт.случ.: е^λ1х, хе^λ1х, …,х^к-1 е^λ1х, е^λк+1х, е^λnх, (5),а общ.реш. Ў=С1е^λ1х+С2х е^λ1х+…+ С_кх^к-1е^λ1х + С_к+1 е^λл+1х +С_nе^λnх.

3) Среди хар-ого ур. (3)есть комплексные. Пусть для определенности λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, λ3=υ+iδ,λ4=υ-iδ,а ост.корни вещественные и различные.Поскольку коэффициенты a_i, i=от 1до n, ур-ния (3)вещественные,то комплексные корни этого ур-ния попарно сопряженные.Согласно у=е^λх (2) будем иметь: у1= е^λ1х=е^(α+iβ)х=e^αx(cosβx+isinβx), у2=e^αx(cosβx-isinβx), у3=e^υx(cosδx+isinδx), у4=e^υx(cosδx-isinδx), у5=e^λ5x,…, у_n=e^λnx.Фунд.сист.реш.:е^αхcosβx,е^αхsinβx,е^υхcosδx,е^υхsinδx,e^λ5x,…,e^λnx, (6). Ў=С1е^λхcosβ+С2 е^λхsinβ+C3е^υхcosδx+C4 е^υхsinδx +C5 e^λ5x +C_nе^λnх .Общ.реш.

4) Пусть λ1=α+iβявл. к-кратнымкорнемур.(3 ) (к<=n\2), λ2=α-iβ также будет к-кратн.корнем и пусть ост.корнивеществ.и различны. Фунд.сист.реш.ур.(1): е^αхcosβx,е^αхsinβx,хе^λхcosβx,хе^λхsinβx,…,х^к-1е^λхcosβx, х^к-1е^λхsinβx, е^λ2к+1х,…,e^λnx (7). Общ.реш.диф.ур.1 запишется: Ў=С1е^αхcosβx+С2е^αхsinβx+С3хе^λхcosβx+С4хе^λхsinβx,…,С_2к-1х^к-1е^λхcosβx+C_2kх^к-1е^λхsinβx+С_2к+1е^λ2k+1х+…+Cne^λnx