1. В определении окрестности точки фигурирует…

Хо G R, радиус Е. Окрестность точки Хо - множество точек Х, удовлетворяющих нер-ву lХ-Хоl<E, отклонение Х от Хо<радиуса Е. Это интервал с центром Хо. l x-xo l<E

2. Полуокрестностью точки Хо …левая полуокрестность – это интервал (Хо-Е; Хо), правая – аналогично, пересечение 2х полуокрестностей – окрестность точки.

3. Установите соответствие между ЧП и формулой…расчет

4. Последовательность задана рекуррентным соотношением а=…

Рекуррентное соотношение – каждый следующий член последовательности выражен через предыдущие.

Расчет

5. Соответствие между функцией и областью определения – расчет

6. Пусть f(x) = tgx, тогда сложная функция g(f(x)) нечетна, если функция g (x) задается формулой…

подставить f (x) вместо х везде и проверить на четность и нечетность

7. Приращение дельта у ф-и y=….при изменении значения аргумента от -2 до3 равно…

Дельта у=f(x2)-f(x1), если отрицательное – значит, функция убывает на столько-то единиц. Если положительная – возрастает.

8. Расчет (может найти предел)

9. Предел последовательности lim…, тогда в определении фигурирует…если lim=a, тогда Ian-aI<E (или lf(x)-al<E, если lim->∞, то ББФ и f(x)>E ( или f(x)<-E (если «-бесконечность»)

10. Расчет

11. Если 2 функции имеют в точке Хо конечные пределы а1 и а2, то сумма функций в этой точке…

Предел суммы функций = сумме пределов этих функций (свойство аддитивности),

Сумма этих функций в этой точке..? может иметь предел, равный сумме конечных пределов данной функции

12. Если сумма функций имеет в точке Хо конечный предел, то каждая из этих функций…??Имеет свой предел

13. Если три ф-ции в некот. окрестности точки Хо подчинены неравенству f1<f2<f3, то справедливы утверждения…??теорема о двух милиционерах, тогда lim f1 = lim f3 = a и lim f2 = a при х->хо

14. Предел (предел) равен… при условии…замечательные пределы (2ой) – там a(x) –должна быть БМФ, а B(x) – ББФ

15. Точками разрыва функции являются у=… являются точки (см. область определения функции), где функция не определена – точка разрыва, там, где нет односторонних пределов, или они равны бесконечности (использовать определение)

16. Согласно графику

17. Функция имеет точку разрыва 2го рода, тогда в этой точке обязательно…односторонних пределов не существует или они одного из них не существует или равен бесконечности. *все вертикальные асимптоты – точки разрыва 2го рода. Хотя бы один предел бесконечен или не существует

18. Функция имеет устранимую точку разрыва 1 рода, если в этой точке односторонние пределы функции существуют и равны друг другу. Равны друг другу и конечны

19. Пусть существуют в точке оба односторонних предела, тогда справедливы…точка-точка разрыва 1го рода. (если общее, тогда «Для существования предела необходимо, что существовали оба односторонних предела и были равны»)

20. Расчет

21. На графике производной точкой экстремума являются точки пересечения графика с осью Х и смена знака производной

22. Если функция дифференцируема на промежутке (т.е. имеет производную), то на этом промежутке…

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. Значит функция, которая дифференцируема, непрерывна (обратное – неверно!).

Теорема. Если функция непрерывна, значит, она имеет первообразную (теорема Коши об интегрированных функциях). Семейство первообразных – НИ, значит функция интегрируема????(ну наверное). Теорема: функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем (ОИ)

Непрерывна и интегрируема????

23. По графику

24. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то она должна… принимать внутри отрезка значение, равное нулю. Теорема Больцано: если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует точка, значение которой f ( c) =0; т.е.

25. По Графику

26. Если дифф. Функция возрастает на промежутке, то ее производная внутри промежутка…

????? «внутри промежутка» и «на промежутке» – это разные вещи?????

Общее правило:

Для возрастания (убывания) функции на (а, в) необходимо, чтобы ее производная была неотрицательна (не положительна) – из лекций

В учебнике: Если y=f(x) дифференцируема на (а, в) и f’(x)=> 0 (f’(x)=<0), то функция y=f(x) не убывает (не возрастает) на данном интервале.

Если дифференцируемая функция возрастает на промежутке, то ее производная внутри промежутка

*неотрицательна

Если дифференцируемая функция убывает на промежутке, то ее производная внутри промежутка

*неположительна – необходимый признак монотонности

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируе­мая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .

27. Если производная функции внутри промежутка положительна (отрицательна), то функция внутри промежутка

*возрастает (убывает) – достаточный признак монотонности

Теорема 2. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

28. Дифф. в интервале ф-я имеет в нем экстремум, если…

Необходимость: Если существует Хо, кот. принадлежит (а, в), такое, что Производная от этой точки =0 (или не существует)

Достаточность: Производная, переходя через эту точку, должна менять знак

29. Отношение приращения функции на отрезке к длине это отрезка равна… (Теорема Лагранжа)

Производной в некоторой точке отрезка, если функция дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке

30. Пусть y’(x)=… тогда y (x)=… ???неясно

31. Если lim f(x)=… при x ∞, то (об асимптотах)…

Если предел функции на бесконечности равен B (нужно находить отдельно на + и -), тогда у=в – горизонтальная асимптота (если существуют оба предела на бесконечности, тогда двусторонняя горизонтальная асимптота).

Также пределы на бесконечности используются для поиска k и в для наклонной асимптоты

32. Если lim f(x)=… при х 0, то… В данном случае возможно имеется в виду вертикальная асимптота, но неизвестно((

33. Приближенное значение функции можно вычислить по формуле…=f(xo)+f’(xo)*дельтаХ или …=f(xo)+dy или …=f(xo)+f’(xo)*dx – одно и то же

34. Расчет - Об интегрировании рациональных функций

35. Первообразными функции y являются…расчет (с учетом С)

36. Множество первообразных функции…расчет (с учетом С)

37. Функция F – первообразная для f, если…

• F’(x)=f(x)

• Угловой коэффициент касательной к графику F равен f (по геом. смыслу производной)

• ??? и зависит от вариантов ответа

38. О методах интегрирования – возможны: метод замены, метода внесения под знак дифференциала (Sf(ф(t)ф’(t)dt=Sf(f(ф(t))dф(t) )( S – знак интеграла), метод интегрирования по частям и т.д.

39. Зависит от интеграла

40. Среди свойств НИ… свойства НИ:

• Однородность,

• аддитивность,

• дифференциал от интеграла = исходная функция (подынтегральная),

• интеграл от дифференциала=исходная (подынтегральная) функция.

41. Если в ОИ поменять местами пределы интегрирования, то его значение…поменяет знак

42. Функция является нечетной на отрезке [a,b]. ОИ равен…

Если четная, тогда

Если нечетная, тогда

43. Сходящимися являются несобственные интеграла… НСИ 1-го рода будет сходящимся, если предел НСИ (где одна из границ->бесконечности) существует и конечен (иначе расходящийся) (если 2 границы стремятся к бесконечности, тогда нужно чтобы оба интеграла существовали и были конечны)

Для сходимости НСИ 2го рода нужно, чтобы односторонние пределы (если функция не ограничена в какой-либо границе интегрируемого отрезка) существовали и были конечны)

Здесь решение

44. Расчет (по формуле Ньютона-Лейбница) ОИ = S фигур под графиками (геометрический смысл)

45. Для интегрируемой ф-ции f(x) площадь под ее графиком равна изменению некоторой функции F (x), если…

• F’(x)=f(x)

• Угловой коэффициент касательной к графику F (тангенс угла наклона касательной к графику функции) равен f (по геом. смыслу производной)