5.3 Основные термодинамические процессы идеальных газов

Идеальными газами называются такие газы, в которых отсутствуют силы взаимного притяжения и отталкивания между молекулами, а объемом самих молекул пренебрегают, считая его бесконечно малой величиной по сравнению с объемом, в котором они находятся.

Все реальные газы при высоких температурах и малых давлениях почти полностью подходят под понятие идеальный газ,и практически по свойствам не отличаются от него.

При изучении термодинамических процессов идеальных газов решаются две основные задачи:

1. Определение уравнения, прогресса f(р,v)=0, устанавливающего закономерность изменения состояния рабочего тела в процессе. Основой решения этой задачи является уравнение 1-го закона термодинамики, приведенное для условий, присущих рассматриваемому процессу. Совокупность уравнений процесса и состояния идеального газа дают возможность получить соотношения различных параметров газа в виде функциональных зависимостей вида: р = f(v); v= f(T) и др.

2. Выявление особенностей преобразования подведенного к рабочему телу количества теплоты, распределение ее между изменениями внутренней энергии и совершаемой рабочим телом внешней работой.

Изменение внутренней энергии рабочего тела (газа) определяется для всех термодинамических процессов одинаково в соответствии с выражением

du=c_vdT (5.11)

где с_v- удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Внешняя работа газа определяется по формуле

(5.12)

В общем случае любые два термодинамических параметра из трех в процессе могут изменяться произвольно (независимо). Однако изучение работы тепловых машин показывает, что наибольший интерес для практики представляют некоторые частные случаи термодинамических процессов.

5.3.1 Изохорный процесс (Закон Шарля)

Изохорным называют процесс, протекающий при v=const пли dv 0. Подобный процесс может совершаться рабочим телом (газом), находящимся в цилиндре при неподвижном поршне (рис. 5.3), если к рабочему телу подводится теплота от источника тепла I или отводится теплота к холодильнику II. Уравнение изохорного процесса может быть получено, если в уравнении состояния идеального газа (5.2.) принять v=const. В этом случае v. R= const и T.p = const

или

. (5.13)

Рис. 5.3. Изохорный процесс.

Таким образом, визохорном процессе давление газа всегда остается пропорциональным температуре.

При изохорном процессе dv=0, то работа в соответствии с выражением (5.12) также равна нулю, т.е. работа на преодоление внешних сил не совершается. Уравнение 1-го закона термодинамики (5.5) с учетом (5.11) в изохорном процессе получит вид:

dq=du=c_vdT (5.14)

Следовательно, при изохорном процессе вся теплота, подводимая или отводимая от рабочего тела, расходуется на изменение внутренней энергии.

Количество теплоты, подводимое к рабочему телу в процессе 1-2 при C_v=const, определяется интегрированием выражения

(5.15)

5.3.2 Изобарный процесс (Закон Гей-Люссака)

Закон устанавливает зависимость между удельным объемом и абсолютной температурой при p=const , dp=0.

Такой термодинамический процесс может протекать в цилиндре, поршень которого перемещается без трения так, что давление в цилиндре равняется постоянному давлению окружающей среды. Уравнение изобарного процесса может быть получено из уравнения состояния при p=const. В этом случае

(5.16)

Таким образом, при изобарном процессе объем газа всегда пропорционален абсолютной температуре.

Работа газа в изобарном процессе определяется интегрированием выражения (5.12) при p=const. Это дает

(5.17)

Так как pV₁=RT₁и pV₂=RT₂, то подставляя эти выражения в формулу (5.17), получим

l=R(T₂-T₁) (5.18)

Выражение (5.18) раскрывает также физический смысл газовой постоянной R. Действительно, если принять, что T₂-T₁=l⁰C, то I=R. Следовательно, газовая постоянная - это работа 1 кг газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1⁰С.

Теплота, подводимая к рабочему телу (или отводимая), определяется уравнением dq=c_pdT-vdp. Если dp=0, то dq=c_pdT, где С_р- удельная теплоемкость при p=const. Следовательно, в данном случае dq=di.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.4. Изобарный процесс.

При C_p=const

q=с_p(T₂-T₁)=i₂-i₁(5.19)

Из выражения (5.19) видно, что теплота, подведенная к рабочему телу в изобарном процессе, идет на увеличение его энтальпии. При изобарном процессе меняется температура рабочего тела и, следовательно, его внутренняя энергия. Поэтому на совершение внешней работы расходуется лишь часть теплоты, подведенной к рабочему телу извне. Для определения доли этой теплоты следует все члены уравнения (5.5) разделить на dq, , откуда,

где - коэффициент адиабаты.

Если принять к=1,4, что соответствует двухатомным газам, то . Следовательно, 28,5% всей подведенной к рабочему телу теплоты в изобарном процессе двухатомного газа расходуется на совершение работы, а 0,715 (или 71,5%) - на изменение внутренней энергии.

5.3.3 Изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта)

Процесс, протекающей при постоянной температуре, называют изотермическим (T=const или dT=0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.5. Изотермический процесс.

Такой процесс может протекать, например, в цилиндре поршневой машины, если по мере подвода теплоты к рабочему телу поршень машины перемешается, увеличивая объем настолько, что температура остается постоянной. Уравнение процесса может быть получено из уравнения состояния 1кг идеального газа, если принять T=const. В этом случае

pv=RT= const. (5.20)

Следовательно, на р - V- диаграмме изотерма является равнобокой гиперболой. Из уравнения (5.20) следует, что

, (5.21)

т.е. при T=const давление и объем рабочего тела обратно пропорциональны. Из соотношения du = C_vdT и di = c_pdl следует, что изотермический процесс идеального газа является одновременно процессом при du=0 и di=0. Следовательно, с учетом этих условий выражение (5.5) получит вид

dq = dl. (5.22)

Из выражения (5.22) следует, что вся сообщенная газу теплота в изотермическом процессе затрачивается на совершение внешней работы.

Работа в данном процессе равна

(5.23)

или

. (5.24)

Массовая теплоемкость изотермического процесса может быть определена из общего соотношения

Так как при изотермическом процессе dq 0, а dT = 0. то с = ±. Следовательно, определить количество теплоты, подведенное к рабочему телу, при помощи удельной теплоемкостиневозможно.

5.3.4 Адиабатный процесс (закон Пуассона)

Адиабатным называется процесс изменения состояния рабочего тела, происходящий без теплообмена с внешней средой, т.е. при выполнении условия dq=0 и q=0.

Уравнение адиабатного процесса может быть получено из уравнения 1-го закона термодинамики dq = du + dvпри dq=0 и du = с_vdT, где

Тогда

RdT+(k-1)pdv=0. (5.25)

Дифференцирование уравнения состояния дает выражение pdv+vdp = RdТ, подставив которое в выражение (5.25), получимvdp+кpdv=0. После разделенияпеременных при к = const, имеем ln р + к ln V=const,откуда

pv = const (5.26)

Полученное уравнение является уравнением адиабаты идеального газа при С_v= const; c_p= const.

Сопоставление уравнений pv= const и pv^к== const показывает, что на р - v - диаграмме (рис. 5.6.) адиабата протекает круче изотермы(к>1)и является неравнобокой гиперболой. Из уравнения (4.26) следует, что

(5.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.6. Адиабатный процесс.

С помощью уравнения состояния, написанного для точек 1-2 адиабатного процесса р₁v₁=RT₁; p2v2 = RT₂, уравнение (5.27) даст возможность получить соотношения между температурами и давлениями.

(5.28)

или между температурными объектами

(5.29)

При dq=0 уравнение 1-го закона термодинамики получитвид

dl= -du . (5.30)

Следовательно, работа при адиабатном процессе совершается только за счет уменьшения внутренней энергии. После интегрирования (5.30) имеем

.

Если c_v= const, то с учетом выражения du = c_vdT получим l = c_v(T₁- Т₂).

После подстановки имеемили с учетом уравнений состояния 1кг газа

(5.31)

Преобразуя выражение (5.31), можно получить

(5.32)

5.3.5 Политропный процесс

Рассмотренные частные изменения состояния идеального газа отличаются исключительной простотой расчетных зависимостей. Однако, этих случаев бывает недостаточно, чтобы проанализировать рабочий процесс реального двигателя. Поэтому в практике исследования используют так называемую индикаторную диаграмму p-V, отдельные участки которой изучают с помощью уравнения:

рvⁿ=const, (5.33),

очень похожего на уравнение адиабаты. Здесь n - произвольная, но постоянная величина.

Благодаря сходству уравнении (5.26) и (5.33) для механической работы можно записать

(5.34)

В дифференциальной форме выражение (5.34) выглядит следующим образом:

. (5.35)

Количество теплоты (термическая работа) определяется, как

dq = c_ndT, (5.36)

где c_n- соответствующая удельная теплоемкость.

Подставив выражения (5.35) и (5.36) в уравнение (5.5) с учетом (5.11), получим

. (5.37)

В частном случае из общих формул (5.33) и (5.37) получается соотношение для всех, выше рассмотренных процессов.

Так, при п= ±- имеем изохору; n=0 - изобару; n=1 - изотерму; n=к - адиабату. В связи с этим кривая, описанная формулой (5.33), называетсяполитропой, соответствующий процесс – политропным (от ip. слов pole - много, tropes - повтор, направление).

Для определения показателя политры опытные точки индикаторной диаграммы изображают в логарифмической системе координат, где на осях откладывают величины Iq vиIq p. Выбрав две точки 1 и 2 на участке опытной кривой, которую можно рассматривать как прямую, получаем:

. (5.38)

Формулу (5.38) находят логарифмированием основного уравнения (5.33).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.7. Определение показателя политропы по углу наклона a .

На рис. 5.7. это уравнение представлено в виде прямой линии в координатах lq pиlq v,а показатель политропы n - тангенс угланаклона прямой к оси абсцисс.

На рис.5.8. показано расположение политропных процессов на р - v диаграмме, выходящих из одной и той же точки, в зависимости от величины показателя n. В изотермическом процессе при n=1 внутренняя энергия газа не изменяется (U₂=U₁). В изобарном процессе расширения при n=0 внутренняя энергия увеличивается. В изохорном процессе при подводе тепла при n=внутренняя энергия возрастает. Отсюда можно сделать вывод, что все политропные процессы расширения, расположенные над изотермой при n<1, а, процессы сжатия при n>1, протекаютс увеличением внутренней энергии газа.

Политропные процессы расширения, расположенные под изотермой при n>1, и процессы сжатия при n<1, протекают с уменьшением внутренней энергии газа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.8. Расположение политропных процессов.

Рассмотрим, как изменяется количество теплоты в политропных процессах (рис. 5.8.). В адиабатном процессе теплота не подводится и не отводится. В изотермическом (n=1) и изобарическом (n=0) процессах расширения и в изохорном процессе ( n= - ? ) теплота подводится. Следовательно, политропные процессы расширения, расположенные над адиабатной, в пределах к>n>-, и процессы сжатия при>n>к, протекают с подводом тепла к рабочему телу. Политропные же процессы расширения при>n>к, и процессы сжатия при - >n>кпротекают с отводом тепла.