ТЕМА №25.

Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки.

Вычеты функции.

1.Окрестность бесконечно удаленной точки…………………………………………………..2 2.Разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки……………….3 3.Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки……………….4 4.Простейшие классы аналитических функций………………………………………………..4 5.Теорема Коши о вычетах………………………………………………………………………………..5 6.Вычеты функции относительно изолированной особой точки…………………….6 7.Основная теорема о вычетах………………………………………………………………………….7 8.Вычисление вычета функции относительно полюса……………………………………..8 9.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки………………………..9 10.Приложение теории вычетов к вычислению интегралов………………………….11

1.Окрестность бесконечно удаленной точки.

Исследуя поведение однозначной функции в окрестности изолированной особой точки, мы предполагали, что эта точка является конечной. Окрестностью изолированной особой точки а, являлось множество точек z, отличных от точки а, лежащих внутри круга с центром в точке а столь малого радиуса, чтобы во всех таких точках z функция была голоморфной. Опишем из нулевой точки, как центра, окружность радиуса R и допустим, что при достаточно большом R данная функция f(z) не имеет особых точек вне круга радиуса R. Тогда говорят, что бесконечно удаленная точка является изолированной особой точкой для данной функции. Множество всех точек плоскости, лежащих вне этого круга радиуса R (или большего, чем R), назовем окрестностью бесконечно удаленной точки. Множество всех точек плоскости, лежащих вне этого круга радиуса R (или радиуса большего, чем R), называют внешностью круга |z|≤R, и это множество есть окрестность бесконечно удаленной точки. Поэтому, окрестности бесконечно удаленной точки плоскости z соответствует окрестность нулевой точки плоскости z', причем в соответствующих точках z и z' функции f(z) и ϕ(z') имеют равные значения.

1

Естественно называть бесконечно удаленную точку существенно особой точкой функции f(z), полюсом порядка m или устранимой особой точкой в

зависимости от того, будет ли нулевая точка для ϕ(z') существенно особой точкой, полюсом порядка m или устранимой особенностью.

2.Разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Напишем соответствующее разложение для функции ϕ(z') в окрестности нулевой точки ϕ(z')= _n z′ⁿ , |z′|<1/R ,(1) и полагая z'=1/z , будем иметь f(z)= _n zⁿ (|z|>R), (2), где c_n=b_-n (n=0; ±1; ±2;…). Разложение (2) может содержать бесконечное множество положительных степеней z, конечное число этих степеней или совсем их не содержать в зависимости от того, будет ли разложение (1) содержать бесконечное множество отрицательных степеней z', конечное число этих степеней или совсем их не будет содержать. Поэтому, заключаем, что бесконечно удаленная точка будет для функции f(z): а)существенно особой точкой, если (2) содержит бесконечное множество положительных степеней z, то есть f(z)= + _k z^k=F₁(z)+F₂(z) Функция F1(z) стремится к конечному пределу при z→∞, в то время как _k z^k не стремится ни к какому пределу при z→∞ (теор.Сохоцкого), б) полюсом порядка m, если в разложение (2) входит конечное число положительных степеней z, причем c_m есть последний при них коэффициент, отличный от нуля (m≥1), то есть f(z)= + _k z^k (c_m≠0). Здесь ; в) устранимой особой точкой, если в разложении (2) совсем нет положительных степеней z , то есть c_k=0 (k=1, 2,…) , то есть

f(z)= =F₁(z) Принимая с₀ за значение функции f(z) в бесконечно удаленной точке, мы уничтожаем эту особенность, так как (z') будет при этом голоморфной функцией в нулевой точке =c_0. Поэтому, говорят, что f(z) – голоморфная в бесконечно удаленной точке z=∞. Рассмотрим для случая в), б), а):

2

в) (z)dz=-2πic_-1 , где L- произвольный контур, ориентированный по часовой стрелке, содержащий внутри себя окружность |z|=R.

Можно считать, что точка ∞ находится внутри контура L^- - контур L обходит точку ∞,оставляя ее слева.

б) dz= _-k + _k ^k dz=-c_-1 =-2πic_-1 , потому что

dz= ^k dz=0(k≠-1)

a) = _k ^k dz=-2πic_-1.

Почленное интегрирование здесь возможно, так как интеграл можно заменить на интеграл по окружности радиуса ρ>R, на которой ряд (2) равномерно сходится.