Свойства двойного интеграла.
16.1.3.1.
Линейность.
Если функции f(x,
y),
g(x,
y)
интегрируемы по области D,
то их линейная комбинация
тоже интегрируема по области D,
и
.
Док-во.
Для
интегральных сумм справедливо равенство
.
Переходя к пределу при
и пользуясь свойствами пределов,
рассмотренными в разделе
Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.
1
6.1.3.2.
Аддитивность.
Если область D
является объединением двух областей
D1
и D2,
не имеющих общих внутренних точек, то
.
Док-во.
Пусть
область D1
разбита на подобласти D1,1,
D1,2,
…, D1,
n1;
область D2
разбита на подобласти D2,1,
D2,2,
…, D2,
n2.
Тогда объединение этих разбиений даст
разбиение области D:
на n1
+ n2
подобластей. Интегральная сумма по
области D
равна сумме сумм по областям D1
и D2:
.
Как и в предыдущем случае, переходя к
пределу при
,
получим требуемое равенство.Интеграл
от ед функции по облD
равен
площади этой области:
.