2. G(X) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится. пр сход Дирихле: 1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;. g(x) монотонно стремится к нулю при : . Тогда интеграл сходится.

Для измерения длины участка (дуги) произвольной кривой эта кривая заменяется ломаной, содержащей точки кривой как точки излома, и максимум длин всех таких ломаных принимается за длину кривой (рис. 3). В инвариантном виде формула для вычисления длины дуги (спрямления кривой) имеет вид:

То же в декартовых координатах: В полярных координатах для плоской кривой:

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами  , площадь поверхности равна

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой   вокруг оси   можно вычислить по формуле

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой   вокруг оси   можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат   действительна формула

Интегрирование заменой переменной.

а). Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:

.

Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .

Пример: Вычислить .

.

Подстановка: .

б). Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на - взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .

Пример: Вычислить .

, откуда: ..

.	.
.	.
( ).	.
.	.
; .	.
.
.	.
.	.
.	.
.	;.

были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы

17. .

15.

.

20.

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .

3. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения , (8)

удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; (9)(начальное условие (9) часто записывают в форме ).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

17, Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму   . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы  , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .  (10.1)Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл   существует.

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то (10.2)Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где   Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма ,где   - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла   Следовательно,

     (10.3)Если же кривая L задана в параметрической форме: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,  то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

  получим: (10.4)Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример.Вычислить   где L:   Применяя формулу (10.4), получим:

   =  (10.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0 ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(10.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если на отрезке , то равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .

1. Линейность. Если функции , интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

2. Аддитивность. Если интегрируема по отрезку и точка принадлежит этому отрезку, то . Док-во. Если удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что . При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

3. Интеграл от единичной функции ( ). Если , то .

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

;(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

,(2) что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C1, C2, ,, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2.Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.

Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;(3)и получать общее решение в форме ,(4)

решённой относительно неизвестной функции.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

,(8)удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; (9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).

Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

(11)или f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 (12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g(y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f2(x) g1(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции y = y1, y = y2, y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f2(x) имеет действительные корни корни x1, x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

.(13)Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или . Подставляя в (13) y = x u, , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример:

- общее решение уравнения.

Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция f(x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество f(tx,ty) = t^m f(x, y). Так, x³ – 3xy² + 4y³ - однородная функция степени 3, ln x – ln y- однородная функция нулевой степени. Если M(x, y), N(x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 может быть приведено к виду .

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

. (14)Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции. Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x). Тогда , и уравнение приводится к виду , или . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными ; затем находим u(x) из уравнения . Итак, (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ). Теперь уравнение для u(x) запишется как

. Общее решение уравнения (14): .

Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример: . Решение:

. Теперь для u(x) получим: ,

и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: . Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q(x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14) . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14): . Решаем это уравнение:

(при делении на y теряется решение y (x) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде , где - новая неизвестная функция; находим производную и подставляем в (14) y и : , или , где . Теперь .

Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v(x), варьируемая постоянная C(x), - роль функции u(x),).

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в виде x = x(y), а не в виде y = y(x).

Пример: (x + y²)dy = ydx. Если мы представим это уравнение в виде , то решить его не сможем, так как оно не принадлежит ни одному из рассмотренных типов. Если же представить его в виде , то относительно функции x = x(y) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение:

. Ищем решение данного уравнения в форме x = C(y) y. Тогда (постоянная C₀ переобозначена как ). Утерянное решение - y = 0.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело расположено в пространстве между плоскостями и , и для известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями на слоёв ( ), на каждом из отрезков возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями и приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму , поэтому .