14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного уравнения довольно сложная задача,
которая намного упрощается, если коэффициенты уравнения постоянны.
Определение.
Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение
вида
(4), где p
и q
– действительные
числа.
Будем искать
решение уравнения в виде функции
.
Для этого подставим выражения для
,
,
в уравнение (4). Так как
,
,
то
Поскольку
,
то
(5).
Определение. Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (4).
Пример.
Для уравнения
,
,
характеристическими
являются соответственно уравнения
,
,
.
Вид общего решения дифференциального уравнения (4) зависит от корней соответствующего ему характеристического уравнения. Здесь возможны три случая:
1.
,
тогда
- решения уравнения (4), причем
линейно независимы и образуют ФСР.
Следовательно по теореме о структуре
общего решения
- общее решение уравнения (4).
Пример.
Для уравнения
составим
характеристическое
Уравнение
.
Его корни
.
Общее решение
уравнения имеет
вид
.
2.
- единственное решение уравнения. Но
для построения общего решения необходимо
еще одно линейно независимое относительно
решение, им является
.
Это можно проверить подстановкой
в уравнение (4). Функции
и
являются линейно независимыми решениями
и образуют ФСР, так как
общее решение уравнения (4) имеет вид
.
Пример.
Для уравнения
составим
характеристическое уравнение
.
Его корни
и общее решение исходного уравнения
имеет вид
.
3. Если
,
то характеристическое уравнение
действительных корней не имеет, но y
него есть два комлексно-сопряженных
корня, которые вычисляются по формулам
.Считая,
что
,
получим
,
где
- действительная часть корня,
- мнимая часть корня. Корни
,
- комплексно-сопряженные. Общее решение
уравнения (4) имеет вид
.
Пример.
Для уравнения
характеристическое
уравнение
имеет
и корни
,
при этом
и общее решение имеет вид
.
14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.
Определение.
Линейным неоднородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянным
коэффициентом называется уравнение
вида
(6), где
.
Рассмотрим два способа решения уравнения (6).
1. Метод вариации
произвольной постоянной заключается
в том, что сначала находят общее решение
соответствующего
однородного уравнения
,
где функции
и
образуют ФСР однородного уравнения
(5). Общее решение уравнения (6) ищут в
виде
,
где
и
- неизвестные функции. Тогда
( постоянные
и
заменяют на функции
и
).
Подберем
и
так, чтобы
,
тогда
,
.
Подставим выражения для
в (6), получим
.
Таким образом функции
и
должны удовлетворять системе
(*). Решим эту систему относительно
и
.
Проинтегрировав полученные решения
системы, найдем
и
и составим общее решение в виде (2).
Пример.
Решить уравнение
1) Составим и решим
соответствующее однородное уравнение
.
Будем искать
решение исходного уравнения в виде
.
2) Составим и решим систему (*).
Тогда
.
То есть
- общее решение.
2. Итак,
(5) - однородное уравнение, соответствующее
уравнению (6). Пусть y
- общее решение уравнения (6),
- общее решение однородного уравнения
(5),
частное решение неоднородного уравнения
(6), тогда
.
При этом
можно найти используя вопрос 3 лекции,
а
подбирается в зависимости от вида
.
Пусть правая часть
имеет вид
(или фрагмент его), где
и
- многочлены соответственно степеней
n
и m
с известными коэффициентами,
и
- заданные числа. При отыскании частного
решения удобно воспользоваться методом
неопределенных коэффициентов. Возможные
случаи:
- если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение ищется в
виде
,
где
,
и
- многочлены степени к,
составлены с неопределенными коэффициентами
без пропуска степеней. Коэффициенты
определяются путем подстановки
неизвестной функции y
и ее производных в уравнение (6).
- если
- корень характеристического уравнения
кратности
,
то частное решение имеет вид
.