- •Часть 2
- •Содержание
- •Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •Лекция 2. Правила дифференцирования.
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций
- •2.2. Производные обратной и сложной функций
- •2.3. Производные элементарных функций
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
- •2.2. Производные обратной и сложной функций.
- •2.3. Производные элементарных функций.
- •Лекция 3. Дифференциал функции.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2.Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Лекция 4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •4.1. Теорема Ферма.
- •4.2. Теорема Ролля.
- •4.3. Теорема Лагранжа.
- •4.4. Теорема Коши.
- •4.5. Правило Лопиталя.
- •4.6. Формула Тейлора.
- •Лекция 5. Применение производных к исследованию функций.
- •5.1. Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке.
- •5.2. Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.3. Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •5.5. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
- •5.6. Асимптоты графика функции.
- •Лекция 6. Функции многих переменных.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных.
- •7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- •7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
- •7.3. Производная функции по направлению.
- •7.4. Градиент функции.
- •7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
- •Лекция 8. Метод наименьших квадратов.
- •8.1. Метод наименьших квадратов
- •8.2.Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •8.1. Метод наименьших квадратов.
- •8.2. Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •9.1.Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.
- •10.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •10.2. Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.
- •10.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •10.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
- •Лекция 11. Определенный интеграл.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
- •12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
- •12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
- •12.3. Методы интегрирования определенного интеграла.
- •12.4. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •12.5. Несобственные интегралы.
- •Лекция 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.1. Определение дифференциального уравнения. Основные понятия.
- •13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения.
- •13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •13.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.
- •14.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (фср). Теоремы об общем решении.
- •14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.
- •Лекция 15. Числовые ряды.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •Лекция 16. Степенные ряды. Функциональные ряды
- •16.1. Определение степенного ряда.
- •16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена.
- •16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.
- •16.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
- •Раздел VIII.
- •Лекция 17. Модели межотраслевого баланса.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •Лекция 18. Модели общего экономического равновесия.
- •18.1. Простейшая модель экономического равновесия.
- •18.2. Паутинообразная модель
- •18.3. Модель Эванса.
- •18.4. Модель Эрроу – Гурвица.
- •18.5. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
- •Лекция 19. Производственные функции и их характеристики.
- •19.1. Производственные функции и их основные характеристики.
- •19.2. Оптимальное распределение ресурсов.
- •19.3. Максимизация прибыли производства продукции.
- •19.4. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
- •Рекомендуемая литература.
Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной.
9.1.Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций.
9.3. Основные методы интегрирования функций.
9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
Основная задача дифференциального исчисления – нахождение производной и дифференциала функции. Основная задача интегрального исчисления – восстановление функции по ее производной. Одним из главных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.
Пусть функция определена на .
Определение. Дифференцируемая функция на называется первообразной для функции , если .
Пример. 1.
2.
Важно, что также в примере 1: , так как .
Теорема. Любые две первообразные и одной и той же функции , заданной на отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, то есть .
Д оказательство. Рассмотрим функцию . По условию Геометрически первообразная означает кривую, угловой коэффициент касательной к которой равен значению функции. Множество всех первообразных представляют семейство кривых, определяющихся графиком и сдвинутых относительно него на любую константу.
9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.
Если – первообразная функции на , то для функции
первообразными будет множество функций вида .
Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на и обозначается .
Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Для проверки правильности интегрирования надо взять производную от полученного результата, при этом должна быть получена подынтегральная функция. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование. Рассмотрим основные линейные и нелинейные свойства неопределенного интеграла:
Доказательство 2.
.
Таблица неопределенных интегралов.
1. , ,
2. , ,
3. ,
4. ,
5. , ,
6. , ,
7. , ,
8. ,
9. ,
10. , .
9.3. Основные методы интегрирования функций.
а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах неопределенного интеграла, применении таблицы интегралов и элементарных преобразований функций.
Пример 1. .
Пример 2. . Пример 3. .
б) Интегрирование по частям.
Теорема. Пусть и – две дифференцируемые функции на , тогда выполняется равенство .
Доказательство. Рассмотрим формулу . Интегрируя обе части равенства, получим или (*)
Эта формула позволяет свести нахождение к нахождению интеграла , который может оказаться более простым.
Замечания:
Формула (*) применима, если под интегралом одна из функций является алгебраической, другая – трансцендентной, причем если производная трансцендентной функции является также трансцендентной функцией, то за U принимают алгебраическую функцию, если же производная трансцендентной функции – алгебраическая функция, то за U принимают трансцендентную функцию.
За U обычно принимают функцию, которую трудно интегрировать.
Типы интегралов, берущихся по частям.
1) – многочлен, 2) , 3) ,
4) , 5) , 6) .
Интегралы 5 и 6 берутся применением формулы (*) дважды. В результате получается уравнение относительно исходного интеграла. Если в формуле 6 за U взята функция , то при повторном интегрировании за U вновь принимаем .
Пример. в) Интегрирование методом замены переменной.
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на , а функция имеет непрерывную производную на , причем при значение и существует обратная функция , тогда справедлива формула (1).
Пример.
Частным случаем теоремы 1 является
Теорема 2. Если , то .
Формулой (1) пользуются и справа налево, тогда этот метод называется методом «подведения функции под знак дифференциала».
Пример.
1. ,
2. .