10.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
Рациональные
выражения удобно интегрировать, используя
различные подстановки. В частности, при
решении
можно использовать подстановку
,
тогда
,
,
,
.
В результате указанной подстановки
подынтегральное выражение примет вид
рациональной функции. Также
решается подстановкой
,
где
.
Рассмотрим пример
.
Иногда при решении иррациональных выражений используются тригонометрические подстановки.
.
Задача нахождения
первообразной элементарной функции
одна из знаменитых математических
проблем, которая оказалась неразрешимой
принципиально. Оказалось, что многие
элементарные функции не интегрируемы,
то есть их первообразные не являются
элементарными функциями. Свойства таких
подынтегральных функций хорошо изучены,
составлены подробные таблицы их значений,
существуют графики. К ним относятся
– интеграл Пуассона,
и
– интегралы Френеля,
-
интегральный логарифм и другие. Каждый
из них есть функция, которая не является
элементарной, хотя подынтегральные
функции элементарные. Они играют большую
роль в прикладных науках. Так интеграл
Пуассона является одним из основных в
теории вероятностей и статистике. Эти
интегралы являются «не берущимися». Но
существует хорошо разработанный аппарат
приближения формул с использованием
элементарных функций и методы приближенных
расчетов, позволяющих оценить и вычислить
«не берущиеся» интегралы.
Лекция 11. Определенный интеграл.
11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
11.2. Свойства определенного интеграла.
11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
Пусть
функция
определена и непрерывна на [a;b].
Вычислим площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
,
осью OX
и прямыми
и
.
Разобьем отрезок [a;b]
на n
произвольных частей точками
так, чтобы
.
Через
отмеченные точки проведем прямые,
параллельные оси ординат, и получим на
каждом отрезке
криволинейную трапецию. При этом площадь
всей криволинейной трапеции будет равна
сумме площадей маленьких криволинейных
трапеций. На каждом отрезке
выберем точку
и значение
функции в этой точке. На отрезке
строим прямоугольник высоты
,
площадь которого
=
.
Площадь этого прямоугольника примерно
равна площади маленькой криволинейной
трапеции.
Найдем сумму
площадей всех прямоугольников. Эта
сумма имеет вид
и называется интегральной. Она зависит
от способа разбиения отрезка [a;b]
на участки
и от выбора точки
на каждом участке разбиения. Интегральная
сумма приближенно описывает площадь
криволинейной трапеции.
Точное значение
площади криволинейной трапеции мы
получим, если найдем предел интегральной
суммы при
и при условии, что диаметр максимального
разбиения стремится к нулю, то есть
.
Определение.
Определенным интегралом функции
на [a;b]
называется предел вида
.
Если предел конечен,
то
называется интегрируемой на [a;b].
Этот предел не зависит от способа
разбиения [a;b]
на участки и не зависит от выбора точки
на каждом участке разбиения и обозначается
,
где a
- нижний предел интегрирования, b
- верхний
предел интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла.
численно равен
площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью абсцисс, графиком
и прямыми
.