5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.

Теорема о максимумах и минимумах. Любая функция, гармоническая в области D и непрерывная на Г принимает своё максимальное и минимальное значения на границах и только на границах (за исключением тривиального случая U=const).

Доказательство: пусть теорема не верна. - максимум достигается во внутренней точке. Применим теорему о среднем: , видим, что: .

Вычтем: , но значит что разность всегда, а от неотрицательной непрерывной функции равен нулю в случае если на сфере , то есть получили, что максимум достигается на границе сферы , и в то же время в самой точке Р. В силу произвольности выбора точки Р и радиуса R максимальное значение достигается во всей области D и в том числе на границе. Т.о. пришли к исключающему варианту теоремы (получен тривиальный случай). Следовательно, максимум достигается только на границе.

Чтд.

Теорема о минимумах доказывается аналогично, заменой (u) на (-u).

Следствия:

1. Единственность. Задача Дирихле имеет единственное решение, если её однородная задача имеет только тривиально решение.

Рассмотрим первую краевую задачу Дирихле. . Пусть задача Дирихле имеет два решения: , тогда: из теоремы о mах и min следует, что - во всей области D в том числе и на границе.

2. Корректность - непрерывная зависимость решений от дополнительных условий в любой конечной точке области.

Если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются). Докажем.

Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут различны при больших n.

6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.

(1) Точка р принадлежит области D, ограниченной контуром Г.

Воспользуемся формулой: , мы не знаем, как находится и, соответственно, не можем найти точное решение - избавимся от слагаемого, которое её содержит. Воспользуемся второй формулой Грина для функций и . Из второй формулы Грина следует .

В качестве w выберем любую гармоническую функцию в D, такую что: , то есть мы выбираем её так, чтобы на границе она совпадала с .

Вычитая два этих выражения, получаем: . Пусть , тогда: , - функция Грина задачи Дирихле.

Функция Грина является решением задачи (1), удовлетворяет уравнению: . Проинтегрируем по шару:

применим теорему Гаусса , т.о. можно определить аксиоматически:

Функция Грина задачи , это решение следующей задачи: .

Её физический смысл. Рассмотрим заряд величины в точке р, его потенциал в точке Q: , функция подправляет его так, чтобы на границе он равнялся нулю. Если представить, что этот заряд находиться внутри шара, сделанного из металлической сетки, то можно сказать, что моделирует заземление.

Функция Грина в двухмерном случае: . Мы получили решение задачи (1) через функцию Грина, но саму функцию Грина не нашли, для этого надо решить задачу для , найти . Пусть точка принадлежит области , ограниченной . Ищем виде потенциала: подбираем точки , сажаем в них заряды , так чтобы суммарный потенциал на границе был = 0 – метод электростатических изображений. .