2. Признаки монотонности ф-ии

Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале Х).

Пусть функция f(x)

1) определена на интервале Х;

2) имеет на Х конечную производную f '(x) ;

3) f '(x)>0 ( f '(x)<0) на Х.

Тогда f(x) является возрастающей (убывающей) на интервале Х.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f '(x)<0 на Х. Возьмем любые два значения х1 и х2 из Х такие, что х1 < х2, тогда на сегменте [х1, х2] f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому справедливо равенство где - некоторая точка из (х1, х2): х1< < х2. Так как х2> х1, и , что означает убывание функции на множестве Х.

Для случаев f '(x) >0 на Х доказательство проводится аналогично.

3.Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Теорема 8.12. Пусть функция у=f(х) имеет конечную произ­водную при . Для того, чтобы эта функция сохраняла посто­янное значение f(х)=const при , необходимо и достаточно выполнения условия f' (х) = 0 при .

Теорема 8.13. Пусть функция у = f(х) дифференцируема на ин­тервале (a, b). Тогда если f'(х)>0 на (a, b), то f(х) строго возрас­тает на (a, b); если же f'(х) < 0 ,то f (х) строго убывает на (a, b).

Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

Определение 8.12. Пусть функция у=f(х) определена в некото­рой окрестности точки х₀. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(х), если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравен­ство . Если существует такое , , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , то точка х₀ называется точкой строгого макси­мума (минимума). Точки максимума и минимума называются точ­ками экстремума.

Теорема 8.14 (необходимое условие экстремума). Если функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и точка х₀ является точкой экстремума функции f(х), то либо производная f' (х₀) обращается в нуль, либо не существует.

Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными.

Теорема 8.15 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f(х) дифференцируема в окрестности точки , за исключением может быть самой точки х₀ , в которой она является непрерывной. Тогда:

а) если f'(х) > 0 при х < х₀ и f'(х) < 0 при х > х₀, то х₀ — точка строгого максимума;

б) если f' (х) < 0 при х < х₀ и f'( х) > 0 при х > х₀, то х₀ — точка строгого минимума;

в) если f'(х) в окрестности точки х₀ не меняет знак, то экстремума нет.

Коротко можно сказать, что если производная f'(х) при переходе через точку х₀ меняет знак с плюса на минус, то х₀ - точка строгого максимума, а если с минуса на плюс, то х₀ - точка строго минимума. Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума. Иногда вызывает затруднение иссле­дование знака первой производной в окрестности заданной точки.

В ряде случаев бывает удобным применить при изучении точек экстремума следующую теорему.

Теорема 8.16 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке х₀ для функции f(х) выполняются условия:

f'(х₀) = 0, . Тогда, если f''(х₀) > 0, то f (х) имеет в точке х₀ строгий минимум; если f"( х₀) < 0, то f(х) имеет в точке х₀ строгий максимум.