1. Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания.

Упорядоченное множество – это множество с заданным порядком элементов.

Правило произведения: Пусто А некоторое множество. Пусть элемент а1 А можно выбрать n1 способами. После этого а2 можно выбрать n2 способами и тд. Тогда одновременный выбор а1, а2…аn можно сделать n1*n2…*nk способами/

Правило суммы: Пусто А некоторое множество. Пусть элемент а1 А можно выбрать n1 способами. После этого а2 можно выбрать n2 способами и тд. Тогда выбор одного из элементов (а1 или а2 или аn) можно сделать n1+n2+…+nk способами.

Размещение из n по k: Размещением из n по k называется каждое упорядоченное подмножество из к элементов, выбранных из n элементов

Перестановка – упорядоченное множество

Сочетания – подмножестов из к элементов, выбранных во множестве из n переменных

1. 2)

2. Случайные события, алгебра событий, формулы де Моргана.

Событие – исход эксперимента

Эксперимент – создание определенного комплекса условий

Пространство событий – совокупность событий при данном эксперименте

Ø – пустое подмножество(невозможное событие)

Ω -- все множество (достоверное событие)

Несовместные события – события А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе

Противоположные события – это совокупность событий, противоположных А. (дополнение)

Алгебра событий

А+В=А В w A+B w A V w B

A·B=A B w A·Bw A w B

Свойства операций:

1. А+В=В+А 2) А*В=В*А 3) А+ =Ω 4) А*Ω=А 5)АВ С А 6) *А= Ø 7) =А 8) А-В=А* 9) 10)

3. Классическая вероятность, теорема сложения вероятностей.

Вероятность события – это число, характеризующее возможность наступления данного события P(A)

Вероятность невозможнгого=0, а достоверного=1. Вероятность любого другого [0,1].

Классическая вероятность – это классическое пространство событий, состоящее из конечного числа элементарных событий и все они равновозможны. P(A)=na/n, где na-благоприятные исходы, n- все возможные исходы

Теорема сложения вероятностей

Если А и В два события, то вероятность их суммы P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для несовместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Для 3-х: P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)

P( )=1-P(A)

4. Статистическое определение вероятности, геометрическая вероятность.

Пусть при проведении n испытаний, некоторое событие А появилось m раз.Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших n отношение m/n, называемое частостью события А, остается примерно постоянным. Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n.

Геометрическая вероятность

Обобщением классической схемы является пространство событий, элементарные исходы которого можно представить в виде точек, заполняющих некоторою область Ω в (трехмерном) пространстве в R³ . Если при этом событию А благоприятствуют элементарные события, заполняющие некоторую подобласть D из Ω, то геометрической вероятностью события А называется отношение объема области D к объему области Ω: P(A)=V(D)/V(Ω). Аналогично определяется геометрическая вероятность события, когда множество Ω представляет собой некоторую область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объемы областей заменяются , соответственно, площадями фигур или длинами отрезков.