Вопрос 1 Предмет тв

Теория вероятностей-раздел математики, изучающий в абстрактной форме реально существующие закономерностей случайных явлений. Возникла в 17 веке, в связи со след. прикладными задачами:

• расчет вероятности в азартных играх,

• задача теория стрельбы (сколько раз нужно выстрелить по цели, чтобы она была поражена с заданной вер-тью)

• задача страхового дела (расчет страх. платежей, составление таблиц смертности)

• задача демографии(во всех странах, рождаемость мальчиков 0,514)

• задача теории ошибок наблюдения

Основоположники Ферма, Паскаль. Теория вероятностей развивалась в работах Лапласа, Вернули и др.(рус.-Чебышев, Марков, Ляпунов, Космогоров, Романовский и др.)Из теории вероятностей развилась мат статистика, теория игр, защиты инф-ии, массового обслуживания.

Вопрос 2.Случайные события и их классификации.

СОБЫТИЕ – любое явление о котором имеет смысл говорить. Изучение любого события связано с осуществлением некоторого комплекса условий которые называются опытом, экспериментом, испытанием. Результаты опыта – СОБЫТИЕ

Опыт	Событие
1бросание монеты 2стрельба по цели 3подбрасывание игральной кости	1выпадение герба / решки 2попадание промах 3А1, А2, А3, А4, А5, А6

ОПР1: Событие достоверное, если в условии данного опыта оно произойдет (Ω/ν)

ОПР2: Событие невозможное, если в условиях данного опыта если оно никогда не произойдет ( Пустое множество или V)

ОПР3: Событие случайное, если в условиях опыта оно может произойти/не произойти

ОПР4: события которые нельзя разложить на > простые, называются элементарными

ОПР5: Составным называется события которые можно разложить на несколько элементарных

=Пример=

Бросание 2-х игровых костей

n=36 – дискретное вероятное пространство

тогда любое событие трактуется как некоторое множество данного пространства.

Пусть событие А – сумма выпадших очков А=7

(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)

м=6

Событие А1,А2,…Аn называется несовместным. Если появление одного из них исключает возможность появления любого другого. В противном случае событие называется совместным.

Событие А1,А2,…Аn называется единственно возможным, если в условиях опыта обязательно наступит одно из них.

Событие А1,А2,…Аn единственно возможные и несовместимые называется ПОЛНОЙ ГРУППОЙ СОБЫТИЙ.

Вопрос 3.Классическое, статистическое и геометрическое опр вероятности.

1-КЛАССИЧЕСКИМ будет считатся, если вероятность содержит n-элементарных исходов: w₁w_2…w_n, каждому исходу применить равную вероятность P(Wi)=1/n

В таком пространстве с равновозможными исходами вероятность событий А называется отношение m исходов благоприятствующим числу А к общему числу n исходов единственно возможных, равновозможных и несовместимых

1. P(A)=m/n – Лаплас

=Пример=

2 игральные кости бросаются найти вероятность того что СУММАА выпадения очков от 7 до 10 (включая границы) n=6²=36

С \ 1 2 3 4 5 6

У 1 2 3 4 5 6 7

М 2 3 4 5 6 7 8

М 3 4 5 6 7 8 9

А

О 4 5 6 7 8 9 10

Ч 5 6 7 8 9 10 11

К 6 7 8 9 10 11 12

О

В

p(7≤x+y≤10)=18/36=0.5

Из ф(1) вытекает св-ва вероятностей

1. вер-ть достоверного события = 1 P(Ω)=1 док-во: m=n= P(Ω)=m/n=1

2. вероятность невозможного события = 0 P(П.М)=0 док-во: m=0=> P(ПМ)=0/n=0

3. 0<P(A)<1 вер-ть случайного события заключается м/д 0 и 1

Недостаток классического определения не всегда устанавливается равновозможность исхода.

2-СТАТЕСТИЧЕСКОЕ - пусть некоторый опыт повторен n раз Если событие А наступило m раз то m частота события А(герб выпал 98 раз)

Отношение m/n=W(A) называется ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ/ЧАСТОСТЬЮ

Если при неограниченном увеличеник числа n относительные частоты устойчиво колеблются около числа p то это число называется СТАТИСТИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события А

P= lim(n=∞)m/n (2)

Статестическое определение вероятности. Статистическая вероятность устанавливается только после опыта

3 – ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ вероятное пространство непрерывно

Бросается случайная точка, чему раве\нв вероятность того что точка попадет внутрь круга?

P(A)A= S круга/S квадрата=ПR²/4R²=П/4

.Вопрос 4Элементы комбинаторики: размещение, перестановки и сочетания. Св-ва сочетаний.

Комбинаторика- раздел матем изучающий способы упорядочения и число подмножест данного конкретного множества

2 основных правила:

1) правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, А другой объект В можно выбрать n способами то выбрать А+В (m+n) способами

2) правило произведения. Если объект А можно выбрать m способами после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пару АВ можно выбрать mn способами

а) Размещения:

Пусть имеется n-элементное множество размещениями по к элементам, наз всевозможными упорядочениями R-элементные подмножества данного множества.

Число размещений из n-элементов по к-элементу

А^k_n=n(n-1)(n-2)x…x(n-k+1)=n!/(n-k)!

Размещение используется в тех задачах где важен порядок следования элемента

в) ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановками данного n-элементного множества наз-ся всевозможные упорядоченные n-элементные подмножества данного множества

Число всех перестановок

P_n=Aⁿn=n!

c) СОЧЕТАНИЯ

Сочетаниями из n-элементов по к элементам называются всевозможные неупорядоченные к-элементы подмножества из данного n-элементов множества. Сочетания различаются лишь составом элементов. Порядок следования элементов не важен

Чмсло сочетаний из n-элементов по к-элементу обозначается:

C^k_n=An^k/Pk=n!/k!(n-k)!

Св-ва сочетаний:

1. Cn⁰=Cnⁿ=0 ( 0!=1 по соглашению)

2. Cn^k=Cn^n-k

3. Cn¹=Cn^n-1=n