6.Показать, что (е2–р2с2) является инвариантом.

Из двух возможных в ньютоновской механике

формулировок второго закона Ньютона в релятивистской механике справедлива только первая из них:

Подставив выражение для р, придем к основ-

ному уравнению релятивистской динамики материальной точки:

Из сказанного ясно, что в релятивистском случае

масса утрачивает смысл коэффициента пропорциональности между ускорением и силой.

В отличие от ньютоновской механики сила F в релятивистской механике не является инвариантной

(в разных инерциальных системах отсчета она имеет различные модули и направления). Кроме того, ускорение а и сила F оказываются неколлинеарными (направление ускорения, как правило, не совпадает с направлением силы).

Чтобы получить релятивистское выражение для

кинетической энергии, будем исходить из того, что

работа, совершенная над телом, равна приращению

его кинетической энергии:

Умножим правую часть равенства E на перемещение частицы ds, а левую часть — на равное ds произведение vdt(ds = vdt). В результате получим соотношение

Справа стоит элементарная работа dA. Следователь-

но, левая часть равенства представляет собой прира-

щение кинетической энергии частицы;

Преобразуем это выражение, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения функции

Приведем полученное выражение к общему знамена-

телю и учтем, что v² = v², a vdv = vdv В результате получим

Легко проверить дифференцированием, что

Следовательно

Функции, дифференциалы которых равны друг другу, могут отличаться только на постоянную величину. Поэтому

Кинетическая энергия должна обращаться в нуль

вместе со скоростью частицы v. Отсюда следует, что

константа должна быть равна —mс² и соответственно

Разложим выражение в ряд со степенями υ/с

При (υ/с)<˂ 1 остальными членами ряда можно пре-

небречь. В результате получится ньютоновское выра-

жение для кинетической энергии: Ек = mv²/2. Это

согласуется с тем, что при скоростях много меньших

скорости света формулы релятивистской механики

должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.

Мы уже отмечали, что законы сохранения должны

быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Как показывает опыт, в частности огромный экспериментальный материал, накопленный в физике элементарных частиц, закон сохранения энергии оказывается инвариантным только в том случае, если свободной (т. е. не подверженной действию сил) частице приписывать, кроме кинетической энергии, дополнительную энергию, равную mс². Таким образом, свободная частица обладает энергией

которую называют полной энергией.

Неподвижная частица обладает энергией которая называется энергией покоя. Она представляет собой внутреннюю энергию частицы. В случае сложного тела энергия покоя включает в себя, помимо энергий покоя образующих тело частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию, не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле (Термин «полная энергия» имеет в релятивистской механике иной смысл, чем в ньютоновской механике. В ньютоновской механике полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. В релятивистской механике под полной энергией подразумевается сумма кинетической энергии и энергии покоя частицы.)

Импульс и полная энергия частицы связаны соотношением

Найдем выражение для полной энергии через импульс частицы. Для этого исключим из выражения

для модуля импульса

и выражения для полной энергии скорость v. В результате получим

Из этого равенства следует, что

Скорость с и масса m являются инвариантами. Следовательно, и выражение Е2/с2 — р2 п'редставляет cобой инвариант, т. е, имеет одинаковое числовое значение во всех инерциальных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой полная энергия и импульс изменяются, однако числовое значение остается одним и тем же.