3.Что такое пространство Минковского? Какая физическая величина называется интервалом? Показать что интервал является инвариантом.

Интервал

В обычном пространстве расстояние Δl между

двумя точками с координатами x₁, y₁, z₁ и х₂, y₂, z₂ определяется выражением

где Δх = х₂—x₁ и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются величины Δх, Δу и Δz, однако эти изменения таковы, что расстояние Δl остается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято

говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

где Δt = t₂—t₁ и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется.

Инвариантным является выражение

которое называют интервалом между событиями.

Величина Δs является аналогом расстояния Δl между, точками в обычном пространстве.

В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называют евклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками.

Выражение можно написать в виде

где Δl — расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение Δl/Δt дает скорость частицы υ. Поэтому, вынеся из-под корня cΔt, получим, что

Выражение Δt равно Δτ промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотoшению

Поскольку с — константа, а Δτ— инвариант, интервал Δs также оказывается инвариантом.

Убедимся в инвариантности интервала еще одним способом. Квадрат интервала в системе К определяется выражением

В системе К' квадрат интервала между теми же событиями равен

Подстановка этих значений дает

(напомним, что β = V/c). Таким образом, инвариантность интервала доказана.

В отличие от расстояния Δl, квадрат которого

всегда положителен (а само Δl вещественно), квадрат интервала может быть положительным (если сΔt>Δl), либо отрицательным (если сΔt<Δl). либо равным нулю (если сΔt=Δl). Последний случай имеет место для событий, заключающихся в испускании светового сигнала из одной мировой точки и приходе его в другую, мировую точку (за время Δt световой сигнал проходит в вакууме путь Δl = cΔt). Соответственно интервал Δs может быть вещественным (если Δs²>0), мнимым (если Δs²< 0) и равным нулю (для светового сигнала).

Вследствие инвариантности интервал будет вещественным, либо мнимым, либо равным нулю во всех инерциальных системах отсчета.

Для вещественного интервала

Отсюда следует, что существует такая система К', в которой Δĺ=0, т. е. события, разделенные вещественным интервалом, могут быть пространственно совмещенными. Однако не существует системы, в которой Δt́ ' = 0 (при таком значении Δt' интервал стал бы мнимым). Таким образом, события, разделенные вещественным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут быть одновременными. В соответствии с этим вещественные интервалы называются времениподобными.

Для мнимого интервала

Следовательно, существует такая система К', в которой Δt ' = 0, т. е. события оказываются одновременными. Однако не существует системы, в которой Δĺ = 0 (при таком значении Δl' интервал стал бы вещественным). Таким образом, события, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут оказаться пространственно совмещенными,

В соответствии с этим мнимые интервалы называются пространственноподобными.

Расстояние Δt между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает cΔt. Поэтому такие события

не могут воздействовать друг на друга и, следовательно, не могут быть причинно связанными друг с другом (не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей с). Причинно связанные события могут быть разделены только времениподобным или нулевым интервалом.

Для события-причины и события-следствия

Согласно последней из формул

Отсюда

Поскольку

отношение не превышает с; V<с.

Поэтому, независимо от знака Δх;, правая часть равенства больше нуля и, следовательно, Δt' и Δt имеют одинаковые знаки. Это означает, что событие-причина во всех системах отсчета происходит раньше события-следствия.