1. Понятие дифференциального уравнения и его решения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные.

Если разыскиваемая функция является функцией одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если нескольких переменных, дифференциальным уравнением в частных производных.

Предметом исследования данной темы являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые часто называют просто как дифференциальные уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные различных порядков

(8.1)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Например, ……

Решением или интегралом дифференциального уравнения (8.1) называется….

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Пример 8.1. Найти решение уравнения .

Решение:

Наиболее часто применяемыми в приложениях являются дифференциального уравнения первого порядка.

2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производную :

(8.2)

Формы явная, в дифференциалах……….

Для дифференциального уравнения существует несколько видов решений: общее решение, частное решение и особое решение.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области D называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) функция является решением данного уравнения при любых значениях постоянной с;

2) для любого условия такого, что существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному условию .

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении .

Геометрически общее решение или общий интеграл- семейство кривых на плоскости. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.

Например, общее решение дифференциального уравнения …………..

Рис…..

Задача Коши - задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии: . Геометрически решение задачи Коши, т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию , представляет интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

Условия существования и единственности решения задачи Коши приведены в следующей теореме.

Tеорема 8.1. Если функция f(x,у) и её частная производная f (x,у) непрерывны на некоторой области D плоскости хОу, содержащей точку , то найдётся интервал , на котором существует единственное решение у=у(х) уравнения = f(x,у), удовлетворяющее начальным условиям .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что при выполнении условий теоремы существует и при том единственная функция , график которой проходит через точку .

Особым решением дифференциального уравнения первого порядка называется его решение, во всех точках которого условие единственности решения задачи Коши не выполняется. Таким образом, в любой окрестности точки особого решения существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.