Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства

Время -2 а.ч.

План:

1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства.

2. Эквивалентные бесконечно малые функции.

3. Раскрытие неопределенностей.

В теории пределов особое место занимают функции, пределы которых при определенных значениях x равны нулю или бесконечности. С помощью таких функций находят значения конкретных пределов.

1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства

Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен нулю, т.е. .

По определению предела функции данное определение означает: для любого числа найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Коротко:

.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами

Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности, т.е. .

По определению предела функции данное определение означает: для любого числа найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Коротко:

.

Выражение в данных определениях играет важную роль, т.к. одна и та же функция, но при разных значениях может быть бесконечно большой, бесконечно малой или ни той, ни другой. Например, функция является бесконечно малой при , бесконечно большой при и ни той, ни другой при .

Бесконечно малая функция тесно связана с условием существования предела функции, что отражено в следующей теореме.

Теорема 4…. Для того чтобы функция имела при предел А необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде суммы

где -бесконечно малая при .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция имеет при предел число А. Тогда, по определению предела, для любой ε-окрестности точки А существует -окрестность точки , такая что для всех x из -окрестности значения функции попадут в ε-окрестность, т.е. будет выполнено неравенство: или . Последнее равенство означает, что точка 0 является пределом функции при , т.е. является бесконечно малой . Обозначив ту бесконечно малую через , получим представление или Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть функцию можно представить в виде . Тогда, . Функция является бесконечно малой при , т.е. или . По определению предела функции, для любой ε-окрестности точки 0 существует -окрестность точки , такая что для всех x из -окрестности значения функции попадут в ε-окрестность, т.е. будет выполнено неравенство или . Последнее неравенство означает, что точка А является пределом функции имеет при . Достаточность доказана. Теорема доказана.

Свойства бесконечно малых функций

Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда имеют место следующие утверждения:

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая, т.е. бесконечно малая функция при .

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при имеем . Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при имеем | β(x)|< ε/2. Возьмем . Тогда в окрестности точки радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств и . Следовательно, в этой окрестности будет т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию f(x) при (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Если и , то , т.е произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Если и c=const, то , т.е. произведение бесконечно малой на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть и . Тогда есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Свойства бесконечно больших функций

Пусть и - бесконечно большие функции при . Тогда имеют место следующие утверждения:

Теорема 4. Сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно больших функций одного знака есть функция бесконечно большая, т.е. бесконечно большая при .

Теорема 5. Разность двух бесконечно больших функций разного знака есть функция бесконечно большая, т.е. бесконечно большая при .

Теорема 6. Произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть функция бесконечно большая, т.е. бесконечно большая при , если .

Следствие 1. Произведение двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая, т.е. бесконечно большая при .

Следствие 2. Произведение бесконечно большой на ограниченную функцию (или число) есть функция бесконечно большая.

Теорема 7. Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть функция бесконечно большая, т.е. бесконечно большая при , если .

Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций

Теорема 8. Если функция f(x) является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых выполняется неравенство , а это и будет означать, что бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при , то найдется δ>0 такое, что как только так . Но тогда для тех же x: .

Пример. Ясно, что при x→+∞ функция является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

Теорема 9. Если функция - бесконечно малая при (или x→∞) и не обращается в нуль, то является бесконечно большой функцией.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: ………….. и

A≠ 0