8.2. Явление сверхпроводимости с точки зрения теории Ферми-Дирака

Физическая сущность теории сверхпроводимости разработана Н.Н. Боголюбовым с сотрудниками и заключается в следующем.

Свободные электроны проводимости металлов образуют электронный газ, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака. Между электронами действуют кулоновские силы отталкивания, которые в значительной степени ослаблены наличием поля положительных ионов узлов кристаллической решетки. Кроме того, они взаимодействуют с тепловыми колебаниями решетки, не прекращающимися даже при температуре 0 K. При таких взаимодействиях электроны, располагающиеся в узкой полосе, примыкающей к уровню Ферми, могут поглощать и излучать фононы (электронные волны). Происходит как бы обмен фононами, который приводит к возникновению сил притяжения между электронами проводимости. Если эти силы окажутся больше сил отталкивания, то под влиянием их электроны проводимости с противоположно направленными спинами связываются в пары с положительной энергией. Результирующий спин такой пары равен нулю. Энергия связи пары u_св зависит от направления спинов и максимальна для электронов, у которых собственные моменты количества движения (спины) антипараллельны.

При температуре 0 K электронные пары располагаются на основном энергетическом уровне, лежащем ниже уровня Ферми, который отделен от ближайшего уровня, отвечающего нормальному состоянию электронов в металле, энергетической щелью шириной u_с. По порядку величина энергии связи равна энергии теплового движения kT_к, соответствующей температуре перехода металла в сверхпроводящее состояние.

Минимальная энергия, которую может поглотить электрон, находящийся на основном уровне, равна u_с. При низкой температуре такую энергию от кристаллической решетки он получить не может. Поэтому электроны двигаются в этом случае без взаимодействия (торможения), не встречая сопротивления. Электрическое сопротивление в этом случае стремится к нулю.

Примеси, искажения кристаллической решетки, пластическая деформация металлов оказывают влияние лишь на резкость перехода вещества в сверхпроводящее состояние, но не уничтожают сам переход. Это говорит о том, что при переходе в сверхпроводящее состояние электроны проводимости (электронные волны) перестают взаимодействовать с узлами кристаллической решетки.

С повышением температуры ширина щели между энергетическими уровнями уменьшается, силы кулоновского отталкивания между электронами увеличиваются, электронные пары разрушаются, и электроны переходят с основного энергетического уровня на возбужденные уровни.

При температуре, равной W_к, энергия связи становится равной нулю (u_с = 0) и сверхпроводящее состояние исчезает.

8.3. Электропроводность полупроводников. Понятие о дырочной проводимости. Собственные и примесные полупроводники. Понятие о p-n – переходе

8.3.1. Собственная проводимость полупроводников

Полупроводниками называют класс веществ (твердых тел), у которых полностью занята электронами валентная зона, отделенная от зоны проводимости узкой (порядка 1 эВ) запрещенной зоной. Их электропроводность меньше электропроводности металлов, но больше электропроводности диэлектриков.

К полупроводникам относятся элементы (Si, Ge, As, Se, Te), химические соединения (оксиды, сульфиды, селениды), сплавы элементов различных групп.

Основным признаком, выделяющим полупроводники как особый класс веществ, является сильное влияние температуры и концентрации примесей на их электрическую проводимость.

Различают собственные и примесные полупроводники. Электропроводность чистых полупроводников (в которых совершенно отсутствуют примеси) называют собственной проводимостью.

К собственным полупроводникам относятся германий и кремний. Молекулярная структура кремния представлена на рис. 8.8, где:

- ядро и внутренние электронные оболочки;

- дырка, вакансия с отсутствующей связью;

- валентные электроны, образующие ковалентную связь.

У германия и кремния – одинаковая кристаллическая решетка: каждый атом окружен четырьмя атомами, находящимися в вершинах правильного тетраэдра. На наружной оболочке атома имеется по четыре валентных электрона, поэтому каждый атом образует четыре ковалентных связи с четырьмя ближайшими от него соседями.

Н а рис. 8.9 показана энергетическая структура электронов в полупроводнике. При Т=0 все уровни валентной зоны заняты, а уровень Ферми лежит в запрещенной зоне, отделяющей зону проводимости. При этом в зоне проводимости электронов нет. Для полупроводников характерно, что ширина запрещенной зоны составляет до 10 кТ. При комнатных температурах размытость функции Ферми-Дирака перекрывает , и вероятность перехода электронов валентной зоны в зону проводимости не равна 0.

Таким образом, в полупроводниках (что их коренным образом отличает от диэлектриков) сравнительно небольшие энергетические воздействия, обусловленные нагревом или облучением, могут привести к отрыву некоторых электронов от своих атомов. В этом состоит механизм образования носителей в чистых полупроводниках.

При температуре T=0 K и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении температуры электроны с верхних уровней валентной зоны могут перейти на нижние уровни зоны проводимости. При наложении электрического поля электроны перемешаются против поля. В полупроводнике появляется электрический ток. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью, или проводимостью n - типа.

Из-за теплового перехода электронов в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место, дырку, может перейти электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, которое покинул электрон и т.д. Такой процесс заполнения дырок электронами равноценен перемещению дырки в направлении, противоположном перемещению электрона. В действительности дырки не перемещаются. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная дырками (квазичастицами), называется дырочной проводимостью, или проводимостью p - типа.

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне. Следовательно, если концентрация электронов проводимости и дырок равна соответственно n_e и n_p, то n_e = n_p.

Проводимость собственных полупроводников всегда является возбужденной, т.е. появляется только под действием внешних факторов (повышения температуры, облучения, сильных электрических полей и т.д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны. При переходе электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны E, что приводит к появлению в валентной зоне дырки. Энергия, затраченная на возникновение пары носителей тока, должна делится на две равные части. Следовательно, начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой возникает возбуждение электронов и дырок.

В физике твердого тела доказывается, что концентрация электронов в зоне проводимости

, (8.17)

где W₂ – энергия, соответствующая дну зоны проводимости;

W_F – энергия Ферми;

T – термодинамическая температура;

C₁ – постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы электрона проводимости.

Примечание. Эффективная масса – величина, имеющая размерность массы. Она характеризует динамические свойства электронов проводимости и дырок. Позволяет учитывать действие на электроны проводимости не только внешнего поля, но и внутреннего периодического поля кристалла, рассматривать их движение во внешнем поле как движение свободных частиц, не учитывая взаимодействие электронов проводимости с решеткой.

Концентрация дырок в валентной зоне

, (8.18)

где C₂ – постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы дырок;

W₁ – энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны. Энергия возбуждения в данном случае отсчитывается вниз от уровня Ферми, поэтому величины в экспоненциальном множителе разные.

Согласно тому что n_e = n_p, имеем

. (8.19)

Если эффективные массы электронов и дырок равны, то при данной температуре C₁=C₂ и, следовательно,

.

Откуда

. (8.20)

Таким образом, уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны.

Так как для собственных полупроводников W>>kT, то распределение Ферми-Дирака имеет вид

, (8.21)

где <N_i> – среднее число фермионов в состоянии с энергией W_i;

 – химический потенциал.

При данных условиях распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана:

, (8.22)

где .

Таким образом, имеем:

. (8.23)

Заменив в формуле (8.23) (W - W_F) = W/2, получим

. (8.24)

Так как количество электронов, перешедших в зону проводимости, а следовательно, и количество образовавшихся дырок пропорционально <N(W)>, то удельная проводимость собственных полупроводников

, (8.25)

где _o – постоянная, характерная для данного полупроводника.

Удельное электросопротивление полупроводников

. (8.26)

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры объясняется тем, что с повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости.

В полупроводниках, помимо процесса генерации электронов и дырок, возможен процесс их рекомбинации. Электроны могут переходить из зоны проводимости в валентную зону, отдавая решетке избыточную энергию, испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенное равновесие концентрации электронов и дырок, зависящее от температуры.

Скорость рекомбинации, т.е. число исчезающих в единицу времени электронно-дырочных пар, определяется свойствами полупроводника; кроме того, она пропорциональна концентрации электронов и дырок, так как чем больше число носителей заряда, тем вероятнее их встреча, завершающаяся рекомбинацией. Таким образом, скорость рекомбинации

. (8.27)

Но число дырок в идеальной кристаллической решетке собственного полупроводника равно числу свободных электронов . Поэтому

, (8.28)

где – коэффициент рекомбинации, определяемый свойствами полупроводника.

Скорость генерации (число освобождающихся в единицу времени электронно-дырочных пар) зависит от температуры полупроводника и ширины его запрещенной зоны.

В стационарном режиме существует динамическое равновесие: скорость генерации равна скорости рекомбинации, отсюда

или . (8.29).

По формуле (8.29) можно определить число свободных электронов в полупроводнике. Так, например, при комнатной температуре число свободных электронов в германии , в кремнии – .