1.11.2. Поле бесконечно протяженной, однородно заряженной плоскости

Имеется бесконечно протяженная, однородно заряженная плоскость. Заряд на плоскости равномерно распределен с поверхностной плотностью . Так как заряд равномерно распределен по поверхности плоскости, то поверхностная плотность заряда . Линии вектора напряженности электрического поля E перпендикулярны плоскости, поле – однородное.

Д ля расчета напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. С этой целью выделим на плоскости некоторую площадку S, построим замкнутую цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны линиям вектора E. На одном из оснований этой поверхности находится рассматриваемая точка "А", в которой определяется напряженность электрического поля (рис. 1.14).

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную замкнутую цилиндрическую поверхность равен потоку E_б через боковую поверхность и потокам E_о через два основания:

. (1.58)

С одной стороны, так как поток вектора Ф_б через боковую поверхность равен нулю (линии вектора E не пересекают боковую поверхность), то полный поток вектора E

, (1.59)

то есть

, (1.60)

где Ф_o = ES.

С другой стороны,

,

где .

Таким образом, имеем

,

а

. (1.61)

Из полученного результата (1.61) видно, что на любых расстояниях от бесконечно протяженной, равномерно заряженной плоскости напряженность электрического поля не зависит от расстояния и имеет одно и то же направление, что и подтверждает его однородность.

Воспользовавшись соотношением можно определить разность потенциалов между двумя точками электрического поля, находящимися на расстояниях r₁и r₂ от плоскости.

Имеем

,

где

или

.

Откуда

, (1.62)

где r₂ - r₁ = d – расстояние между рассматриваемыми точками.

Из (1.62) видно, что разность потенциалов между двумя точками поля в данном случае не зависит от расположения точек относительно плоскости, а определяется только расстоянием между ними.

1.11.3. Поле двух бесконечно протяженных, равномерно заряженных плоскостей

Пусть имеются две бесконечно протяженные, равномерно заряженные плоскости, заряд на которых равномерно распределен с поверхностными плотностями + и - (рис. 1.15).

Каждая из плоскостей вокруг себя создаёт электрическое поле с напряженностью соответственно E₊ и E_-. В пространстве, как вне плоскостей, так и между ними, существует в этом случае результирующее электрическое поле с напряженностью

E = E₊ + E_-. (1.63)

Численное значение вектора напряженности электрического поля от одной из плоскостей

.

В областях 1 и 3 векторы напряженности электрических полей E₊ и E_ равны по величине, но противоположны по направлению. Следовательно, поля компенсируют друг друга, результирующее поле отсутствует, E = 0.

В области 2 векторы напряженности электрических полей E₊ и E_ направлены в одну сторону, результирующее поле характеризуется вектором E, численное значение которого

E = E₊ + E_- = . (1.64)

Таким образом, вне объёма, ограниченного плоскостями, поле отсутствует. Поле сосредоточено между плоскостями, и напряженность его одинакова по величине и направлению во всех точках ограниченной области.

Полученный результат оказывается справедливым и для поля плоскостей конечных размеров. Отклонение от полученного результата наблюдается только вблизи краёв (так называемый краевой эффект).

Воспользовавшись соотношением можно определить разность потенциалов электрического поля между плоскостями. Имеем

,

где .

Откуда

, (1.65)

где r₂ - r₁ = d – расстояние между плоскостями.