Пример.
Найти функцию P (V,T) интегрируя полный дифференциал
по пути а) V0T0 → VT0 → VT и
по пути б) V0T0 → V0T → VT (рис. 5)
Рис. 5 Пути интегрирования дифференциала (29)
Интегрируя по пути “а” находим
Такое же выражение получаем при интегрировании (28) по пути “б”.
Поскольку
из уравнения состояния идеального газа
следует, что P (V0,T0)
есть
,
окончательно имеем
Для интегрирования неполного дифференциала (16) как и при интегрировании полного дифференциала необходимо задать кривую интегрирования
Но поскольку Ф не является функцией x, y при задании кривой интегрирования выражение (31) переходит в определенный интеграл, значение которого и находят путем интегрирования. Для физической величины Ф в этом случае определяют её количество. Значение интеграла и количество физической величины зависят не только от координат кривой интегрирования, но и от пути интегрирования, в физическом смысле от пути процесса. Поэтому величину Ф, дифференциальной формой которой является неполный дифференциал, называют функцией процесса.
Для задания кривой интегрирования неполного дифференциала можно использовать способ описанный выше.
Пример.
Определить значение интеграла от неполного дифференциала (Б) по пути
a) x0y0 → xy0 + xy;
б) x0y0 → x0y – xy (рис.4)
a)
или
б)
Комментарий.
Несмотря
на то, что координаты начала и конца
кривых интегрирования одинаковы (х0,
у0
– х, у) значения интегралов Ф(а) и Ф(б)
различаются. Например, если принять х0
=
0, у0
=
1; х = 2, у = 3 значение Ф(а) равно 10, а Ф(б) –
5. Дифференциальными выражениями типа
(16)
определяется элементарная объемная
работа. В связи с этим, подчеркнем, что
вычисление объемной работы для различных
процессов равносильно интегрированию
неполного дифференциала по различным
кривым. Для изохорного и изобарного
процессов кривыми интегрирования в
координатах P–V
являются отрезки, параллельные
соответственно осям P
и V.
Для изотермического процесса кривая
интегрирования задается прямой
;
Т = const
с математической точки зрения –
обратной функцией,
а
= const,
рис. 6.
P
(1)
(1) (2) (2)
(2) (2) V
|
V=const V(1) ≤ V ≤ V(2) W=0 P=const P(1) ≤ P ≤ P(2) W=P∆V T=const W=RT ln V2/V1 |
Рис. 6 Пути интегрирования при вычислении объемной работы
Разновидность объемной работы – изохорная, изобарная, изотермическая –наглядная иллюстрация, что работа функция процесса.
Аналогичными характеристиками обладает в общем случае и теплота. Её особенности как физической величины рассмотрим на примере теплоты, которая используется на изменение внутренней энергии и совершение работы системы над средой при условии, что системой является один моль идеального газа.
δQ = СvdT + PdV (32)
Покажем, что смешанные производные дифференциального выражения не равны между собой
Внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры и не зависит ни от объема, ни от давления
Теплоемкость Сv, являясь производной внутренней энергии идеального газа, также зависит только от температуры и не зависит ни от объема, ни от давления.
С другой стороны
Вычислим количество работы на пути
(а) T0V0 → T0V→ TV и
(б) T0V0 → TV0→ TV, рис. 7.
T
T, V0
T, V
T0V0
T0,V
V
Рис. 7 Пути интегрирования дифференциального выражения (32)
Как видно Q(а) ≠ Q(б) из-за различия теплот, пошедших на производство изотермической работы, T ≠ T0.
На этом примере можно также убедиться, что разность теплоты и работы равна разности внутренней энергии, изменение которой не зависит от пути процесса
