11: Кручение стержня круглого сечения. Напряжение и перемещение при кручении.
Кручение Понятия и определения
Цилиндрический
брус, закрепленный одним концом и
нагруженный парой сил с моментом Т,
действующим в поперечном сечении этого
бруса, претерпевает деформацию кручения
(Рис.1)
, при этом рассмотрим следующие допущения связанные с оценкой внутренних сил, напряжений и перемещений при кручении:
1.Ось бруса (цилиндра) не деформируется;
2.Нормальные поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси цилиндра после приложения момента сил (гипотеза плоских сечений);
3.Равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого на равные углы;
4.Угол поворота концевого сечения (φ-полный угол закручивания) относительно закрепления
5.При кручении цилиндра в его поперечном сечении возникают только касательные напряжения.
Определения внутренних силовых факторов при кручении.
При действии нескольких разнонаправленных крутящих моментов, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих слева, или справа от рассматриваемого сечения.
Дано: вал – 1, в подшипниках 2. Вращаются три шкива. Все определено.
Решение: за положительное направление выбираем положительное направление вращения часовой стрелки.
Напряжения и перемещения при кручении
- относительный сдвиг;
r - полный радиус;
-
текущий радиус (текущая полярная
координата);
-
элементарный угол закручивания на длине
dx;
-
линейное перемещение (относительный
сдвиг);
СС1 - абсолютный сдвиг на длине dx.
-
относительный угол закручивания;
Согласно гипотезе плоских сечений, при кручении радиусы остаются прямыми, тогда зависимость относительного сдвига для произвольного радиуса можно записать в виде:
Только
что рассмотренная формула показывает,
что при кручении реализуется неравномерный
сдвиг при
сдвиговой
деформации нет, а при
она максимальна.
Согласно закону Гука, для сдвиговой деформации касательные напряжения будут определяться из формулы:
(1)
тогда
из (*) и (1):
при
Поперечная сила может быть выражена через касательное напряжение:
(3)
dQ – элементарная поперечная сила.
Элементарный крутящий момент, действующий на расстоянии определиться как:
В сопротивлении материалов принято, что ∫ ρ2 dA= Jρ и является полярным момент инерции сечения (геометрическая характеристика сечения, которая учитывает и форму сечения).
Относительная деформация в сечении прямо пропорциональна действующему моменту в этом сечении, и обратно пропорциональна жесткости стержня (жесткость при кручении определяется как произведение модуля сдвига на полярный момент инерции).
При равномерном распределении касательных напряжений
-
полный угол закручивания; φ=Θ
- длина участка;
c
учетом (***)
≤[φ]
–условие жесткости при кручении
Ранее была получена зависимость:
c
учетом (***) получим
В соответствии с этой формулой можно оценить действующие касательные напряжения с учетом места и формы сечения.
- полярный момент сопротивления (геометрическая характеристика сечения).
Условие прочности при кручении
Условие жесткости при кручении может быть представлено следующим образом:
Полярные моменты инерции для круглого сечения
Ранее была предложена зависимость:
Приближенная формула для определения полярного момента сопротивления плоского сечения
Для кольцевого сечения
d – внутренний диаметр;
D – внешний диаметр.
Используя свойства интеграла, получим:
