1. Числ послед и пределы

{O}числ. Послед-отображения мн-ва натуральных чисел N во мн-во действ чисел R, обознач {a_n} или {x_n} {O}предел числ послед {x_n} – если для любой  окресн числа а сошь такой номер N послед, начиная с которого все члены послед наход в  окресн числа а, за пределом окресн может нах лишь конечное число членов последовательности. {lim_n%x_n=a}={>0,N:n>=N|x_n-a|<} {O} сход послед- имеет конечный предел иначе- расходяшь посл {O}стационарн послед-все её члены равны-{c} limc=c {пример} {qⁿ} |q|<1 доказать lim_n0qⁿ=0 |qⁿ-0|<|qⁿ |< nln|q|<ln n>ln/ln|q| обознач N=[ ln/lnq] –целая часть n>N |qⁿ-0|<lim_n%qⁿ=0{O}б.б числ послед {x_n}- если для любого M>0 сушь N такая, что для всех n>N|x_n|>m {T}О связи б.б.п и б.м.п аналогич теореме о связм б.б.ф lim_n%qⁿ при |qⁿ|>1 = % {T}О арифм опер над пред числ послед аналогично. {T}О монотонных последовательностях если n x_n<=x_n+1, то x_n-возраст, а если x_n>=x_n+1-убывающая. {O} {x_n}-огранич , если с>0:n|x_n|<=c. {T}Монотонная послед сход тогда, когда она ограничена a₁+a₂+…+a_n+… (1) или Σ_n=1a_n наз числовым рядом, где {a_i} числ послед.

2. Опред ряда частн суммы ряда.

a₁+a₂+…+a_n+… (1) {O}S₁=a₁,S₂=a₁+a₂,S₃=a₁+a₂+a₃,…,S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n… -это частичн суммы ряда (1) Они образ числ послед {S_n} если сушь lim_n%S_n=S то ряд (1)- сходится и S-его сумма. Иначе ряд расх. (1+q+q²+…+qⁿ+… S=1-qⁿ⁺¹/1-q если |q|<1 lim_n%qⁿ=0 lim_n%s_n= lim_n%1-qⁿ⁺¹/1-q=1/1-q. При q>=1 ряд расх.

3. св-ва ряда

1) Если Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n сходятся, то Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n)- сход где где k₁,k₂-пост, причем если A-сумма Σ_n=1a_n и B- сумма Σ_n=1b_n .то k₁A+k₂B- сумма Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) {Д} Σ_n=1a_n сход то lim_n%S_an=A Σ_n=1b_n cх то lim_n%S_bn=B т.к частич суммы это конечные суммы то k₁S_an+k₂S_bn тоже частич суммы Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) lim_n%( k₁S_an+k₂S_bn)=k₁lim_n%S_an+k₂lim_n%S_bn=k₁A+k₂B 2) Если Σ_n=1a_n-сх(расх)то ряд Σ_n=m+1a_n-сх (расх) Σ_n=1a_n=S_n+δ δ=Σ_n=m+1a_n S_n= a₁+a₂+…+a_n+… δ=S- S_n- сумма Σ_n=m+1a_n 3) Если ряд Σ_n=1a_n сход то его сходимость на меняется от произвольной группировки его членов без перестановки членов ряда.(1-1+1-1… (1-1)+(1-1)…=0 сход 1-(1-1)-(1-1)=1-расх )

4. Необх признак сход ряда.

{T} если ряд сходится, то lim_n%a_n=0 {Д} из опред частн сумм S_n-S_n-1=a_n lim_n%S_n=S lim_n%S_n-1=S lim_n%a_n=0 Следствие: если lim_n%a_n=/=0 то ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) расх {Д}если бы ряд (1) сход то lim_n%a_n=0, что противоречит условию.

5. Критерий сход знакопост рядов.

{O}знакопост ряд- если na_n>0 {T}Для того чтобы знакопост ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) сход необх и дост чтобы послед его членов была ограничена сверху {Д} Пусть рад (1) сх т.е lim_n%S_n=S т.к ряд знакоположит, то {S_n} не убывает. S_n-S_n-1=a_n>0 S_n>=S_n-1n тогда из Т о сх монотонной последчто послед {S_n} огранич сверху т.к эта последовательность неубываюшь ,то по Т о монотон послед сущь lim_n%S_n=S

6. Интегральн признак сход.

₁^%f(x)dx=lim_b%1^bf(x)dx Σ_n=1f(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)+… {T}Пусть f(x) убывает на [1;%) и неотриц на этом пр тогда несобств интеграл ₁^%f(x)dx и ряд Σ_n=1f(n) одновременно либо сх либо расх {Д} пусть xR любое действ число, тогда сушь натуральное число k такое что k<=x<=k+1 т.к f(x) убываюшь ф-ция то f(k+1)<=f(x)<=f(k) запишем для разных k: проинт нерав по x от k до k+1: _k^k+1f(k)dx=f(k) _k^k+1dx=f(k) f(k+1)<= _k^k+1f(x)dx<=f(k) (1) Запишем (1) для разных k ; k=1 f(2)<= ₁²f(x)dx<=f(1) ; k=2: f(3)<= ₁³f(x)dx<=f(2) ; при k=n f(n+1)<= ₁³f(x)dx<=f(n) сложим : f(2)+f(3)+….+f(n+1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=f(1)+f(2)+….+f(n) или S_n+1-f(1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=S_n (2) {Д}пусть несобст интег ₁^%f(x)dx сход|из опред сход несобств инт| lim_b%1^bf(x)dx=I т.к f(x) не отриц то ₁^bf(x)dx<=I огранич сверху ф-ция зафиксир число n и будем рассматр в виде b>n+1 тогда ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=₁^bf(x)dx<=I из (2) получим S_n+1-f(1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=₁^bf(x)dx<=I т.е S_n+1<=f(1)+I т.е частные суммы ряда Σ_n=1f(n) огранич сверху. Из критерия сход знакопост рядовряд Σ_n=1f(n) сходит. (₁^%1/x^p p=1 lim₁^b1/x^p=% расх, при 0<p<1 - сход) {O}общ гарм ряд- Σ_n=11/n^p-{расх если 0<p<=1 сх если p>1 }