Соотношение между амплитудами и фазами

Найдём соотношение между амплитудами и фазами падающей, отражённой и преломлённой волн. Для простоты ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления n₁ и n₂.

И з соображений симметрии следует, что колебания векторов E^Отр и E^Пр происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора E^П. Аналогично колебания векторов H^Отр и H^Пр происходят вдоль направления вектора H^П.

В данном случае нормальные составляющие векторов E и H равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рисунке изображены мгновенные значения векторов E и H в падающей, отражённой и преломлённой волнах. На рисунке также показаны орты e, e' и e'' направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны.

Рисунок выполнен в предположении, что направление векторов E^П и E^Пр одинаковы, а векторов E^П и E^Отр противоположны. В этом случае векторы H^П, H^Отр и H^Пр направлены за чертёж. Действительные соотношения между направлениями векторов определяются расчётом.

Модули векторов E и H связаны соотношением.

Соотношения, полученные для амплитудных значений E и H, будут справедливы и для их мгновенных значений. Тройка векторов E, H, e образуют правовинтовую систему. С учётом этого можно записать.

(1)

Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отражённой и преломлённой волнах.

Напишем условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов E и H.

(2)

(3)

Напомним, что значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела.

Заменим в (3) векторы H векторами E в соответствии с формулой (1) и после сокращения на получим.

.

Учтя, что орты e = e' = –e'', преобразуем последнее соотношение следующим образом.

Отсюда имеем.

Поскольку вектора e и E взаимно перпендикулярны, то из полученного равенства вытекает.

(4)

Решив совместно уравнения (2) и (4), получим значения модулей векторов для отражённой и преломлённой волн. Учтём, что направления всех векторов лежат на одной прямой, поэтому решение проводим в скалярной форме.

Отсюда получим для отражённой волны.

(5)

Для преломлённой волны имеем.

(6)

Из выражения (6) следует, что вектора E^П и E^Пр имеют в каждый момент времени одинаковое направление. Отсюда заключаем, что колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе – при прохождении волны через эту границу фаза волны не претерпевает скачка.

Из выражения (5) вытекает, что при n₂ < n₁ направление вектора E^Отр совпадает с направлением вектора E^П. Это означает, что колебания в падающей и отражённой волнах происходят на границе раздела в одинаковой фаза. Т.е. фаза волны при отражении не изменяется.

Если же n₂ > n₁, то направление вектора E^Отр противоположно направлению вектора E^П. Это означает, что колебания в падающей и отражённой волнах на границе раздела происходят в противофазе. Т.е. фаза волны при отражении изменяется скачком на . Полученный результат справедлив и при наклонном падении электромагнитной (световой) волны на границу раздела двух прозрачных сред.

Итак, при отражении световой (электромагнитной) волны от границы раздела среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной n₂ > n₁, фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды, оптически более плотной, со средой, оптически менее плотной (при n₂ < n₁), такого изменения фазы не происходит.

Без вывода запишем коэффициент отражения  и коэффициент пропускания  световой (электромагнитной) волны для случая нормального падения на границу раздела двух прозрачных сред.

(7)

I – интенсивность, n₁₂ = n₂/n₁ – показатель преломления второй среды по отношению к первой среде.

Для коэффициента пропускания получается следующее выражение.

(8)

Легко убедиться, что в случае отсутствия потерь в средах, где распространяется волна, сумма  + , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в (7) n₁₂ на обратную величину n₂₁ = 1/n₁₂ не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.

Показатель преломления большинства стёкол близок 1,5. Подстановка в выражение (7) n₁₂ = 1,5 даёт  = 0,04. Таким образом, каждая поверхность стеклянной пластинки отражает (при падении, близком к нормальному) около 4 % упавшей на неё световой энергии.