12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.

Рассмотрим некоторый вектор неасимптотического направления  . Тогда уравнение диаметра, сопряженного хордам данного направления имеет вид

Из этого уравнения находим координаты направляющего вектора этой прямой

Умножая первое из этих соотношений на  , второе на   и складывая получим

Таково необходимое условие, связывающее координаты ненулевого вектора  , параллельного хордам линии второго порядка, заданной общим уравнением  , и координаты ненулевого вектора  , параллельного диаметру, сопряженному этим хордам. Отметим, что условие   и достаточно, так как из него следует, что

то есть   -- ненулевой вектор, параллельный диаметру  .

ТЕОРЕМА 12.1. Если диаметр   центральной кривой второго порядка является множеством середин хорд, параллельных диаметру  , то диаметр   является множеством середин хорд, параллельных диаметру  .

Доказательство. Пусть диаметр   сопряжен вектору  , а диаметр   -- вектору  . По условию теоремы   параллелен диаметру  . Докажем, что   параллелен диаметру  . По формуле   диаметр   имеет уравнение

Направляющий вектор этой прямой   по условию коллинеарен вектору  . Используя, условие коллинеарности векторов получаем, что

или что то же самое

т.е вектор   -- направляющий вектор прямой   коллинеарен вектору  . Теорема доказана.

Определение 12.1. Два диаметра центральной кривой второго порядка называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Условие   можно теперь рассматривать как необходимое и достаточное условие сопряженности двух диаметров центральной кривой. Если   и  , то это условие можно записать в виде

где   и   - угловые коэффициенты сопряженных диаметров.

13 Касательная к линии второго порядка.

Пусть относительно аффинной системы координат линия второго порядка задана общим уравнением  .

Будем называть точку  , лежащую на этой линии, обыкновенной, если среди чисел

есть хотя бы одно, не равное нулю. В противном случае точка называется особой.

Ясно, что точка  , лежащая на линии  , является особой тогда и только тогда, когда она является центром линии. Таким образом, среди всех линий второго порядка имеют особые точки только: пара пересекающихся прямых (мнимых или действительных) и пара совпавших прямых.

Определение 13.1. Прямая, проходящая через обыкновенную точку линии второго порядка, называется касательной к этой линии в точке  , если она пересекает линию в двух совпавших точках или целиком содержится в этой линии.

ТЕОРЕМА 13.1. Пусть   -- обыкновенная точка линии второго порядка, заданной уравнением  . Тогда уравнение касательной к этой линии в точке   имеет вид

или, что то же самое

Доказательство. Запишем параметрические уравнения прямой  , проходящей через точку   и параллельной вектору :

Параметры точек пересечения этой прямой с данной линией определяются из уравнения  , которое в данном случае имеет вид  , так как   лежит на линии, и поэтому  . По определению, прямая   является касательной тогда и только тогда, когда  . Это означает, что

.

Поскольку точка   -- обыкновенная, то   и   одновременно не равны нулю, а значит равенство  определяет единственное направление вектора  . Следовательно уравнение прямой  (касательной) можно записать в виде

или

которое после очевидных преобразований приводится в виду

Так как точка лежит на кривой второго порядка, то

Следовательно, окончательно уравнение касательной имеет вид  . Теорема доказана.